正方形网格上衡量距离有几种常用的方式：
欧几里得距离对应单位可以万向移动；曼哈顿距离对应单位只能沿上下左右移动；切比雪夫距离对应单位除了上下左右以外，还能斜向45°移动。
「切比雪夫式」移动类似国际象棋里“王”的移动（可以上下左右或斜向移动一格）。在战棋设计中，如果允许玩家操作单位以这种方式移动，看似玩家的选择更多了，但实际上容错率反而会低一些，因为斜向移动的数量会有一个下限。在上图的例子中，从A点移动到B点需要7步，这其中必须包含至少3步斜向移动（可以更多，比如到B左下方再折返回来，但不能更少），此外其他的移动必须竖直向上，否则会使得需要移动的总步数增加。假如玩家操作不慎，比如先向正左方移动了，虽然直观上这么做仍然能缩短与B点的距离，但到达B点的总步数将会增加。
也可以理解成，相比水平方向的距离，竖直方向的距离更远，那么每一步移动都必须包含竖直方向的分量（进而缩短竖直方向距离）：
另外，切比雪夫式移动在画面表现上有时会觉得怪怪的。比如A点周围围满了其他单位，只有左上角是空地。从A点向左上角移动，单位仿佛就要从两个方格对角位置的缝隙里“挤”过去。如果单位本身比较庞大，占据了格子的大部分面积，而设定又是地面单位（比如方形的坦克），那它挤过去的时候就要碾过其他单位了。
「曼哈顿式」移动比较直观，也方便对应键盘、手柄的方向按键。容错率相比切比雪夫式移动稍高一些。只要玩家是在缩短与目的地的距离，不刻意绕弯路，总的移动步数是恒定的：
「欧几里得式」移动在战棋中比较少，更多的是出现在单位并非固定于整数格点的即时战略游戏中，因为中途它会经过许多非整数格点的位置，操作方式也更多是使用鼠标直接点击目的地。在这种方式里，单位走了少许弯路，只要大方向差别不大，总的移动距离只会少量增加：
几种移动方式下，相同距离的目的地形成的「等距线」也不一样：
曼哈顿距离可以将横纵坐标差值相加得到，计算简单。但单位向斜方向移动的能力显得太弱了。如图中突出显示的位置，需要8步才能到达，但直观看上去它和原点的距离完全没有那么远。
切比雪夫距离可以取横纵坐标差值的较大值得到，计算也很简单。但单位在斜方向上移动能力又太强了。8步能移动到角落处，直观看上去这里远不止“8格”距离。
欧几里得距离算是两者的折中，可以让横纵方向的距离作为直角边，用勾股定理计算得到，计算量稍大一些（涉及开方）。虽然战棋中也可以用，但它又不利于玩家一眼迅速判断两格之间的距离。
六边形网格在计算机中的坐标表示、距离计算会稍微麻烦一些。可能不得不用分数来表示网格坐标，计算距离也需要单独编写。但六边形比起正方形更接近圆一些，距离显得直观很多，它的等距线总是一圈一圈围着原点向外扩展：
如今一些战棋游戏似乎更倾向于采用六边形网格，比如太空帝国5，就从前作的正方形网格换成了六边形网格。文明VI、三国志等也是如此。当然也有不少游戏更钟情于正方形网格，算是各有所爱吧。
有人提到在正方形网格中允许45°斜向移动，但消耗的步数不为整数的情况，比如根号2、1.5之类。我也稍做了些研究，在这里分享一下结果吧。
以横竖方向上移动消耗1步为准，假设斜向移动消耗的步数是k：
k的合理范围是区间[1, 2]。以上图为例：
如果k大于2，那么从A点移至C点，走A-B-C的路径比直接A到C更节省步数，就没有必要选后者了。
如果k小于1，那么从A点移至D点，走A-C-D比A-B-D更节省步数，变成了「沿45°蛇皮走位比直达更快」，也不合理。
k越小，表明单位沿斜向移动的能力越强。k=1时就是切比雪夫式移动，而k=2则是曼哈顿式移动。k在(1, 2)范围内意味着「A-C比A-B更远，但比A-B-C拐弯更近」。此时单位移动到某个位置所需的最少步数（两点的距离）可以这样计算得到：
距离（k） = max(横坐标差值, 纵坐标差值) + (k-1) × min(横坐标差值, 纵坐标差值)
曼哈顿式移动，k=2：
距离（曼哈顿）= max(横坐标差值, 纵坐标差值) + min(横坐标差值, 纵坐标差值)，它等于 横坐标差值+纵坐标差值
切比雪夫式移动，k=1：
距离（切比雪夫） = max(横坐标差值, 纵坐标差值)
根据距离（k）可以画出类似的「等距线」，它是内角随k变化的八边形。k取不同的值，对单位斜方向上的移动能力有显著影响：
k为根号2时它是正八边形（蜘蛛网有木有），这是允许单位在8个方向移动的情况下最贴近正圆的k值了：
k等于1.5时，八边形在斜方向上再稍收缩一些：
这些不为整数的k值，让斜向的移动更符合对距离的直观感受（更接近欧几里得距离）。在游戏中可能要考虑用特别的方法处理，比如玩家的“移动力”不再是整数，而是一个模糊数值的“移动力条”；或者对两点距离舍入或向上/向下取整等等。
有意思的是，《红色警戒2》虽然是即时战略，但也用了正方形网格，只不过对它进行了一些旋转变形，让玩家的视角更像是向下45°俯瞰战场：
经过旋转后，网格内的斜向移动在画面上体现为横竖方向移动。而网格又在竖方向上压缩了，结果就是，坦克上下走的时候感觉很慢，水平方向上跑得飞起……
来源：知乎 www.zhihu.com
作者：中等难度的贪吃蛇
【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。
点击下载
此问题还有 20 个回答，查看全部。
延伸阅读：
哪些战棋类游戏系统设计的是不错的？