什么是多因子定价模型？APT（套利定价理论）、Fama-French三因子模型之间的关系是怎样的？

总结起来是两点：

Fama-French三因子模型属于多因子（定价）模型；
APT不是任何“模型”，而是说一个统计因子模型（statistical factor model）在一定条件下等价于一个相应的因子定价模型（factor pricing model）

1. 因子定价模型和统计因子模型

一般我们说的“定价”模型是一个解释横截面期望收益的东西，比如传统的beta pricing：

$E[R_{i}]=\gamma_0+\sum_{k=1}^{K}\beta_{i,k}\gamma_k \quad (1)$

这里面 $\beta_{i,k}$ 是资产i对因子k的暴露， $\gamma_k$ 是因子k的溢价。当你取Market, SMB, HML三个因子时，就得到了FF3：

注意，所有的式子都是关于期望收益的关系。在本质上，factor pricing是一种对定价核或随机折现因子（stochastic discount factor, SDF）的假设。比如，在FF3中SDF就是 $a+c_1MKT_t+c_2SMB_t+c_3HML_t$ 。

而统计因子模型是一个解释不同资产之间相关性的东西，它的建模是关于已实现（realized）收益：

$R_{i,t}=a+\sum_{k=1}^{K}b_{i,k}f_{k,t}+\varepsilon_{i,t} \quad (2)$

其中特质性风险 $\varepsilon_{i,t}$ 满足 $E[\varepsilon_i]=0$ , $E[\varepsilon_i \varepsilon_j]=0$ , $E[\varepsilon_if_k]=0$ 。为什么说这个能够解释资产之间的相关性？注意到由上式我们有

$\Sigma_R=B\Sigma_f B'+\Sigma_\varepsilon$

其中 $\Sigma_R$ , $\Sigma_f$ ,和 $\Sigma_\varepsilon$ 分别是资产收益，风险因子，和特质性风险的协方差矩阵…这个东西长得很像主成分分析（PCA）。一般因子的数量K远远小于资产的数量，因此借助统计因子模型我们可以很方便地描述和估计资产的协方差矩阵（仅理论上）。

2. APT说了什么

Ross（1976）建立在他自己稍早期的两篇文章之上（Ross, 1972; Ross, 1973）。APT的重点其实并不在于强调“多”因子，而是由于初始版本的CAPM（Sharpe, 1964; Lintner, 1965）成立在相当强的经济假设下，这些假设难以被证实并且十分局限。Ross认为我们可以从一个统计设定（公式(2)）出发，通过no arbitrage condition来“approximate”，得到一个定价模型（公式(1)）。

基本直觉是，通过diversification我们可以近似忽略特质性风险 ( $\varepsilon$ )，此时投资者仅暴露在系统性风险 ( $f$ ) 中，因此持有这些资产的投资者应该得到补偿——在这时我们可以得到一个beta-expected return的关系，并且pricing factor就是相应的statistical factor。

3. 一些其他的问题

一开始我有点认为APT是多因子模型的理论基础

这个实际上可能没有唯一的答案。ICAPM和APT都能够推导出多因子定价，直接在ICAPM里面多设定一些state variable或者在statistical factor model里多加几个factor就可以了。这俩主要区别在于提出因子的角度：ICAPM强调的是影响未来payoff的state variable，APT关注的是决定资产co-movement的因素。

但是后来看了一下觉得APT的因子好像是宏观变量，每个资产用的因变量的值是一样的；而多因子模型似乎可以用一些个体层面上的因子

传统意义上的“因子”都是对每个资产相同的，可以是宏观变量，可以是某种资产组合，或者某些变量在资产收益上的投影等等。（在理论上有很多稍微tricky的讨论）

“个体层面上的因子”有两种理解方式。其一是beta pricing，我们可以根据公司的某些特征（比如市值）构造zero-investment portfolio，这个Fama那个流派是一样的；其二是Kent Daniel一派的characteristic-based pricing：直接使用公司特征对期望收益建模：

参考文献

Daniel, K., & Titman, S. (1997). Evidence on the characteristics of cross sectional variation in stock returns.the Journal of Finance,52(1), 1-33.
Fama, E. F., & French, K. R. (1996). Multifactor explanations of asset pricing anomalies.The journal of finance,51(1), 55-84.
Lintner, J. (1965). The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.The Review of Economics and Statistics, 13-37.
Ross, S. A. (1972).Portfolio and capital market theory with arbitrary preferences and distributions: The general validity of the mean-variance approach in large markets(No. 12-72). Wharton School Rodney L. White Center for Financial Research.
Ross, S. A. (1973).Return, risk and arbitrage. Rodney L. White Center for Financial Research, The Wharton School, University of Pennyslvania.
Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of Economic Theory, 13(3), 341-60.
Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk.The Journal of Finance,19(3), 425-442.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Hoshea

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