参数估计：最大似然估计 (Maximum Likelihood Method – MLM)

上一篇文章里，我们大概了解了基本的统计建模。这一篇文章我们来谈谈参数估计。

大家熟知的概率分布的类型，比如说泊松分布里有参数， $\lambda$ ；伽玛分布里有参数， $\alpha 和 \lambda$ 。最开始大家做题里，这些参数都是已知的，可当我们想自己做统计建模时，我们又该如何得到这些参数？

答案就是：参数估计。参数估计的方法有很多，今天和大家分享其中一种：最大似然估计 (Maximum Likelihood Method – MLM)。

最大似然估计的原理是根据概率密度函数或质量函数，计算最高概率产生观察数据的估量参数。

公式也很简单：

$L(\theta) = \prod_{n}^{i=1}\ p_{X} (x_{i};\theta)$ (质量函数)

$L(\theta) = \prod_{n}^{i=1}\ f_{Y} (y_{i};\theta)$ (概率密度函数)

这里 $\theta$ 是未知参数。

通过MLM得到的估计参数的值会将 $L(\theta)$ 最大化，即 $L(\hat{\theta}_{m}) \geq L(\theta)$ 。

我们只需要找出 $L(\theta)$ 对 $\theta$ 的一阶导数，就可以得到 $\hat{\theta}_{m}$ ，这个样本对应的估量参数。

接下来我们看一下两道简单的例题来了解MLM是怎么应用的。

1) 从伽马分布中提取n个随机样本，伽玛分布的参数 $\alpha$ 是已知的。求 $\lambda$ 的最大似然估计量。

伽玛分布的概率密度函数：

2) 一个随机变量X有帕累托分布，其概率密度函数为：

$\alpha > 1$ 。

从帕累托分布中提取n个随机样本，求：

a) $\alpha$ 的参数估计，用MLM。

b) 从帕累托分布中，取得一个随机样本，其中有5个观察数据，分别为：1.7，2.6，1.4，1.8，1.1。根据a)中得到的参数估计来计算这个样本的参数 $\alpha$ 。

b) 根据观察数据得出

得到了估量参数就可以放入自己的模型里来预测其他的值。估量真的是经济、统计里特别重要的一个概念呢，特别尊重各位想出来估量方法的学者们。

作者的话：

好啦今天就说道这里啦。最近好久没更真的特别抱歉，学校事情有点多，以后会督促自己勤快更新的~

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来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Lucia

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