【优质信源】计划03–脉冲雷达信号处理概述

Reviewed by ： @甜草莓 @Robert Zhou；
前置知识：概率论与统计学。

本文作为【优质信源】计划的第三篇，旨在面向通信背景的读者简明扼要地概括脉冲雷达信号处理中的基本问题和方法。由于篇幅所限，本文将不会对相关问题做深入讨论。有兴趣的读者可以进一步阅读本文后面的参考文献。

1. 基本原理

如上图所示，脉冲式雷达的基本工作流程为：雷达首先发射一个探测脉冲，脉冲信号到达目标后被目标反射至雷达端。这一回波中包含了目标距离、速度、角度等参数信息。雷达的任务是对回波进行处理提取出目标信息，从而对目标进行定位或跟踪。由于雷达周期性地发射信号并接收回波，这一发射-接收循环通常被称为脉冲重复周期(Pulse Repetition Interval, PRI)。类似地，一秒钟发射的脉冲个数被定义为脉冲重复频率(Pulse Repetition Frequency, PRF)。

我们考虑一个具有 $N_t$ 发射天线和 $N_r$ 接收天线的雷达，且雷达正在探测位于远场(Far Field)的一个点状目标。该目标相对于雷达的距离、速度以及角度分别表示为 $d,v,\theta$ 。进一步地，将雷达发射的脉冲信号表示为 $\mathbf{s}\left(t\right) \in \mathbb{C}^{N_t\times 1}$ ，则回波信号可以表示为

${\mathbf{y}}\left( t \right) = \alpha {e^{j2\pi {f_D}t}}{\mathbf{b}}\left( \theta \right){{\mathbf{a}}^T}\left( \theta \right){\mathbf{s}}\left( {t - \tau } \right) + {\mathbf{z}}\left( t \right) \in \mathbb{C}^{N_r \times 1},$ (1)

其中， $\alpha \in \mathbb{C}$ 包含了双程路径损耗(Round-trip Pathloss)及目标的雷达散射截面积(Radar Cross-Section, RCS)， ${f_D} = \frac{{2v{f_c}}}{c}$ 表示多普勒频率( $f_c$ 和 $c$ 分别表示信号载频和光速）， $\mathbf{a}\left( \theta \right) \in \mathbb{C}^{N_t \times 1}$ 和 $\mathbf{b}\left( \theta \right) \in \mathbb{C}^{N_r \times 1}$ 分别是发射和接收方向矢量(Steering Vector)，由发射以及接收天线阵列几何来决定， $\tau = \frac{{2d}}{c}$ 代表双程时延(Round-trip Delay)，最后 $\mathbf{z}\left(t\right) \in \mathbb{C}^{N_r \times 1}$ 表示加性高斯白噪声，其方差为 $\sigma^2$ 。

注意除了噪声以外，雷达还会收到来自其他方位的干扰信号。这些干扰可以来自其他信号源，也可以是不感兴趣的目标或者障碍物反射至雷达的回波。一般将后者称为杂波(Clutter)。通常需要对杂波进行抑制，以免对感兴趣的目标造成干扰。受限于篇幅，我们将不在此文中讨论杂波抑制问题。

2. 目标检测问题

雷达信号处理通常关心两个基本问题：检测(Detection)和估计(Estimation)。其中，最简单的检测问题考虑目标的存在性问题，通常可以建模为如下二元假设检验(Binary Hypothesis Testing)：

$\begin{equation}\label{eq2} {\mathbf{y}}\left( t \right) = \left\{ \begin{aligned} &{\mathcal{H}_0}:{\mathbf{z}}\left( t \right),\\ &{\mathcal{H}_1}:\alpha {e^{j2\pi {f_D}t}}{\mathbf{b}}\left( \theta \right){{\mathbf{a}}^T}\left( \theta \right){\mathbf{s}}\left( {t - \tau } \right) + {\mathbf{z}}\left( t \right). \end{aligned} \right. \end{equation}$ (2)

其中， $\mathcal{H}_0$ 假设（Null Hypothesis）代表雷达仅仅收到噪声的情况， $\mathcal{H}_1$ 假设则代表雷达同时收到了回波和噪声。为求解以上二元假设检验问题，需要设计一个检测器(Detector)来对 ${\mathbf{y}}$ 进行检验。检测器 $\mathcal{T}\left(\cdot\right)$ 表征一种映射关系，将信号 ${\mathbf{y}}$ 映射为一个正实数，再将这一正实数与一个预先给定的门限 $\gamma$ 进行比较，从而决定选取 $\mathcal{H}_0$ 还是 $\mathcal{H}_1$ 假设。这一过程可以表示为

$\mathcal{T}\left( {\mathbf{y}} \right)\mathop \gtrless \limits_{{\mathcal{H}_0}}^{{\mathcal{H}_1}} \gamma.$ (3)

上式中，如果 $\mathcal{T}\left( {\mathbf{y}} \right) > \gamma$ 则选取 $\mathcal{H}_1$ ，反之选取 $\mathcal{H}_0$ 。根据场景和雷达所具有的不同先验信息，我们可以设计多种检测器来对回波信号进行检验。常用的检测器包括似然比检验(Likelihood Ratio Test, LRT)，广义似然比检验(Generalized Likelihood Ratio Test, GLRT)，Rao检验(Rao Test)和Wald检验(Wald Test)等。

为衡量目标检测的好坏，人们提出了多种评价指标来描述检测器的性能，最为常用的是检测概率(Detection Probability)和虚警概率(False-Alarm Probability)。检测概率定义为目标存在且雷达判决 $\mathcal{H}_1$ 假设为真的概率（即目标存在，且雷达也判断目标存在），虚警概率则定义为目标不存在且雷达判决 $\mathcal{H}_1$ 假设为真的概率（即目标不存在，但雷达判断目标存在）。这两种概率可以用公式表示为：

${P_D} = \Pr \left( {{\mathcal{H}_1}\left| {{\mathcal{H}_1}} \right.} \right),{P_{FA}} = \Pr \left( {{\mathcal{H}_1}\left| {{\mathcal{H}_0}} \right.} \right).$ (4)

除以上概率指标外，通常还关心所谓的漏警概率(False-Dismissal Probability)，即存在目标但雷达判断目标不存在的概率，可记为 $\Pr \left( {{\mathcal{H}_0}\left| {{\mathcal{H}_1}} \right.} \right)$ 。注意相比于漏警，虚警对雷达造成的伤害更大。因为一旦判断目标存在，雷达就要动用硬件和信号处理资源来对目标进行进一步探测与跟踪，虚警情形下，这将造成雷达资源的严重浪费。有鉴于此，目标检测器的设计通常需要遵循所谓的奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearson Criterion)。简言之，即在给定最小可容忍恒虚警概率的条件下最大化检测概率。

3. 参数估计问题

一旦确定目标存在，雷达就需要处理被噪声污染过的回波信号 ${\mathbf{y}}$ ，从而对目标的参数进行估计。如上文所述，对于点目标模型，感兴趣的参数通常包括距离，速度和角度，这些参数需要通过设计一个估计器(Estimator)来进行估计。与检测器类似，估计器同样可以看做一种特殊的映射，即，将回波信号 ${\mathbf{y}}$ 从信号空间(Signal Space)映射到参数空间(Parameter Space)。这一过程可以表示为：

$\mathcal{F}\left( {\mathbf{y}} \right) = {\left[ {\hat d,\hat v,\hat \theta} \right]}$ (5)

其中 $\hat d,\hat v,\hat \theta$ 是真实距离、速度和角度的估计值。在实际情况中，一般需要针对这些参数设计独立的估计器。对于距离估计，一般采用所谓脉冲压缩方法来估计信号的时延 $\tau$ ，然后算出对应的距离，其实质是利用延迟的发射信号副本对回波进行匹配滤波，匹配滤波器输出响应最大时对应的延迟即为目标的时延。这部分一般称为快时间(Fast-Time)信号处理，是对单个雷达脉冲内的信号样本（又称为“快拍”(Snapshot)）的处理。对于速度估计，由于单个脉冲持续时间较短，其多普勒相移难以识别，通常需要接收多个脉冲的回波确保多普勒相移积累得足够大，再通过快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)来估计多普勒频率。这部分称为慢时间(Slow-Time)信号处理，即以一个脉冲对应一个慢时间单位的脉冲间信号处理。最后，对于角度估计，可以采用经典的基于子空间的到达角估计算法，例如MUSIC或者ESPIRIT。

估计器的性能通常可以用均方误差(Mean Squared Error, MSE)进行描述。以角度估计为例，其均方误差定义为

$\varepsilon_\theta = \mathbb{E}\left( {{{\left( {\theta - \hat \theta } \right)}^2}} \right).$ (6)

然而，参数估计的MSE一般很难求出闭式解，这是因为真值 $\theta$ 和估计值 $\hat \theta$ 的分布在大多数情况下都难以得到。作为一种替代手段，经常考虑的一个经典的性能指标是所谓的克拉美-罗下界(Cramér–Rao Lower Bound, CRLB)。简而言之，克拉美-罗界是所有无偏估计器的方差的下界（无偏估计定义为估计值的数学期望为真值的估计器，因此其方差等于MSE）。这一下界指出，无偏估计器的估计方差应至少与Fisher信息(Fisher Information)的逆相当，即

${\operatorname{var}\left(\hat \theta\right)} \ge \frac{1}{{ - \mathbb{E}\left( \displaystyle {\frac{{{\partial ^2}\ln p\left( {{\mathbf{y}};\theta } \right)}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)}} \triangleq \operatorname{CRLB}\left(\theta\right),$ (7)

上式中，分母定义为关于 $\theta$ 的Fisher信息， $p\left( {{\mathbf{y}};\theta } \right)$ 是关于 $\theta$ 的似然函数(Likelihood Function)。

4. 总结

本文对脉冲式雷达的基本原理进行了简介，并重点介绍了雷达信号处理的两个基本问题：目标检测与参数估计。由于篇幅所限，本文所考虑的只是最基本的点目标模型，对于雷达系统中的其他重要概念，如杂波干扰、扩展目标(Extended Target)、波形设计等均未作介绍。感兴趣的读者请参考雷达和统计信号处理等教材，并欢迎与我单独交流。

参考文献

[1] M. A. Richards, J. Scheer, and W. A. Holm, Principles of Modern Radar: Basic Principles. New York, NY, USA: Scitech, 2010.

[2] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice Hall, 1998.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：刘大

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