随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？

首先，这是一个非常有趣的问题！
先说答案，有理数的概率不只是比1/2小，实际上是0.
也许你会感到意外，但仔细读下来你会欣然接受。

摘要

0. 确定问题-从逻辑角度
1. 严格证明
2. 概率公理化的动机
3. 直观解释-心理障碍
4. 不用概率公理化的常规解释-编后语

0. 确定问题-从逻辑角度

首先，我觉得你应该是逻辑层面的意思(而不是从操作层面，即物理角度)，即从数学角度考虑这个问题。

如果是这样，为了不发生歧义，我将问题重新组织一下。

在单位区间 $[0,1]$ 中，随机选取一个实数，则其为有理数的概率是多大？

构造区间 $[0,1]$ 上的函数: $D(x)=1, 当x是有理数，否则D(x)=0.$

其实这就是狄利克雷(Dirichlet)函数。

假设区间 $[0,1]$ 上有均匀概率分布P, 即 $P([a,b])=b-a,\forall a<b\in[0,1]$ .
(此时概率P就类似区间 $[0,1]$ 上长度的概念。)

于是上述狄利克雷(Dirichlet)函数成为此区间上的一个随机变量。

因此，你的问题可以描述为：求概率 $P(\{x|D(x)=1\})$ ，即该随机变量取值为1时的概率.

先说答案，不只是比 $\frac{1}{2}$ 小，实际上是0.

下面，我先给你一个相对严格和理性的证明，然后再来直观的解释一下。

1. 严格证明

首先，有理数集是可数的，即跟正整数集一样多。

这里简短讲下。

通过构造从有理数集到正整数集的双射(一一对应)。

令映射射 $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow\mathbb{N}^+$ ,其中 $f(\frac{m}{n})=\frac{(m+n-1)(m+n-2)}{2}+m, \forall m,n\in\mathbb{N}^+, gcd(m,n)=1.\$

很容易验证，这是个双射。

这个构造看上去很复杂，其实是很直观的。

令 $A_i=\{\frac{1}{i},\frac{2}{i},\frac{3}{i},...\}$ .则正有理数集 $\mathbb{Q}^+=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ . 把集合 $A_i$ 的元素放在第i行，从小到大左右排列。

如此就把正有理数集排成了一个 $+\infty\times +\infty$ 的无穷大的矩阵了。

沿着从西南往东北的方向从上到下数，给正有理数标号就是上述双射。

更多关于“个数”的精彩数学详见专栏文章：

温欣提市：初中篇4|识多少-无理数比有理数多吗？

其次，概率的可数可加性。

对两两不交的区间 $[0,1]$ 的子集序列 $A_i$ ,我们有
$\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i).\$

这是概率公理条件中最重要的一条。

另外，单点集的概率是0。

你可以简单理解为，一个点的长度是0.

严格证明的思路就是：

对任意充分小的 $\epsilon>0,$

$0\leq P(\{x\})\leq P([x-\epsilon/2, x+\epsilon/2])=\epsilon, \$

由于 $\epsilon$ 的任意性，很快得到 $P(\{x\})=0.$

上述三条加起来，就得到了：

$P([0,1]中有理数集)=P(\{x|D(x)=1\})=0.\$

其实，从这个例子中就可以看出一些概率公理化的动机和思路。

通常我们讲的概率是离散类型的。

比如给你一个6面均匀的骰子，那么转出1的概率是1/6。

这个之所以简单以及能从直观上很容易理解是，因为总共就只有有限种(6种)情况。

而本问题，显然有无限种可能，而且还不仅仅是可数，它是连续的，稠密的，有实数个数那么多种情况，这被称为连续型概率问题。

2. 概率公理化的动机

对于连续型的情况，要怎么严格定义概率呢？

这就是概率公理化的重要动机之一！

严格定义一个数学概念，在人类史或者数学史上出现过多次，每次都有大事发生。

比如无理数，古希腊的时候毕达哥拉斯的一个学生因为利用毕达哥拉斯定理(我们叫勾股定理)发现 $\sqrt{2}$ 后，
证明了它不是当前知道的任何一个数(就是我们后来称为有理数的东西), 被老师的一大帮追随者扔到海里喂鱼了。

就现在，很多人的认识都只停留在了毕达哥拉斯时代。

后来大家发现这种奇怪的数，到处都是。

经过数学家的努力，后来就利用有理数列的极限严格定义了实数，也就是大家学习的实数的(无穷)小数表示。

牛顿，莱布尼茨他们发现了微积分，用导函数来求速度，切线等物理，几何问题，用积分来求位移，面积等物理，几何问题。

但是他们没有严格定义，于是就有了后来的包括柯西等数学家的极限的严格定义。

有了极限的概念，微积分就容易定义了。

这两个故事，其实就是数学历史上的所谓的三次危机的前两次。

回到正题，我们来讲下要如何严格定义概率？

有几点是我们很自然就会想到的。

首先，它应该是从一个大集合(比如这里的[0,1])的一些子集构成的集合到实数集的一个映射。

其次，其概率值应该是非负的。这就是公理化的第一条，非负性。

另外，大集合的概率值应该是1，因为它包含了所有的可能。这就是公理化的第二条，归一性。

最后，有限可加性。即两个无交集的事件之并的概率值应该是两个事件的概率值之和。这就是公理化第三条(可数可加性)的前身。

以上三条就是概率公理化的三条。

其实，本题就可以很好的解释从有限可加性到可数可加性的过渡。

本题中我们的概率其实就是区间 $[0,1]$ 上长度的概念。

我们通常求的是里面一个更短的区间
[a, b]的长度(概率)是多少？
很直观，应该是b-a.

但是，万一问到，这里的区间 $[0,1]$ 上的所有有理数的长度(概率)是多少呢？

这时，我们就傻了，我们发现有限可加性已经不够用了。

于是就想到了可数可加性。

3. 直观解释-心理障碍

a. 虽然我们的有理数在实数中是稠密的。

比如任何两个不同的实数中间都必然存在一个有理数，实际上存在无限个有理数。
又比如，对任何一个实数都可找到一个有理数列收敛于它。

b. 无理数的个数跟实数一样多，都比有理数的个数大很多很多，虽然有理数有无限个。

c. 还有今天的，在一段实数，比如[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0.

以上三个问题实际上分别对应数学的三个不同分支的基本知识。

他们分别是：

实数的拓扑结构

高数，数学分析，点集拓扑，分析类的课程都会讲。

集合论的势

在集合论，实变函数等会讲到。

测度的可数可加性

在实变函数，测度论，数学系的概率论等课程会讲。

之所以大家在面对以上三个方面的事实时会感到困惑，或者说有不少心理障碍。

比如说：
有人会问有理数跟无理数你中有我，我中有你，凭什么说无理数比有理数多？

也有人会问明明[0,1]上有无限个有理数，你却告诉我，在[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0？

这其中的原因是：

当你会问这些问题时，基本上你不是学霸就是好奇心很强。

从自然语言(比如汉语)表面上看，这些问题似乎很简单。

实际上是很复杂的。

这些复杂问题用逻辑语言表达成数学模型时，有些你原先直观上的感受可能会出现偏差。

比如在用严格的数学逻辑解决之前，你的直观是整数比自然数多了很多，而用了集合的势的这种严格的数学概念后，你会发现整数和自然数集的势相等(即一样多)。

这个与你想象中的感觉是否完全一致呢？

不知道，每个人感受都不太一样，但是感觉和直观是不那么靠谱的，它可以辅助你获得灵感，但是不像逻辑，数学这么硬(solid)，这么可靠。

再比如本题中概率的可数可加性，你觉得有无限个相加还是有点不靠谱。

假设你只接受有限可加性。

如果是这样的话，那本题中的挑中有理数的概率就算不出来了。

事情就卡在那，停滞不前。

但是采用可数可加性呢，

一是可以解决问题继续前行，

二是由此得到的解答，除了这一点不符合您的感受，你有关概率的其它感受或者直观几乎都照顾到了。

那么我们的数学或者自然科学的发展，应该怎么取舍呢？

就是你怎么知道要放弃或者推广有限可加性这个感受，而不去放弃其它的呢？

比如你也可以让概率取个负数值啊之类的。

这个问题是真的问到点子上了。

这只有那些走在最前面的开创者们，比如概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov，他们才真正知道。

顺便安利一下，概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov：

我们的世界就是由他们这些少数人极大地推动向前的。

讲到这里，你还有心理上的不舒服吗？

4. 不用概率公理化的常规解释-编后语

从评论中的反馈来看，主要的困惑焦点集中在如下两个问题, 我这里从舒缓大家心理的角度来解释一下，因为严谨的方法我已经在文中写过了。

Q1：单位区间[0,1]中明明包含某个点，比如0, 为何取到它的概率为0呢？

A1：有这种「能取到某个样本就认为取到它的概率大于0」根深蒂固的观点，主要原因还是停留在有限样本空间太久的缘故。

即使按照有限样本的做法，假设取到一个点的权重是1，那整个单位区间的权重肯定是无穷大，而且还是比可数大很多的那种无穷大。

此时，取到「0」的概率为：

$P=\frac{1}{+\infty}=0=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n}.\$

Q2：单位区间[0,1]中包含无数个有理数，为何取到有理数的概率为0呢？

A2：同样用按照有限样本的做法，分子分母都是无穷大，但是分母是更高阶的无穷大。

此时，取到「有理数」的概率为：

$P=\frac{+\infty}{2^{+\infty}}=0=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2^n}.\$

有人又要问了，为什么把有理数看成 $+\infty$ ，而实数就成了 $2^{+\infty}$ .

好，我再满足一下你的好奇心。

采用二进制，我们依然有实数的小数表示，而且有理数的定义依然等价于有限位或者无限循环小数。

由于是二进制，每一个位上不是0，就是1，因此一个实数只要选定哪些位放1，那剩下的都自然是0了。

于是只要选定正整数集的一个子集即可，在那些位上放1。

有理数集和正整数集有相同的个数，记为可数。

于是实数的个数等同于正整数集的所有子集的个数，即正整数集的幂集的个数。

如此实数的个数就是 $2^{可数}$ .

这里再解释一下一个命题：

若集合A为有限集，假设个数为n, 则其幂集的个数为2的n次方。

只要看如下的二项式展开就可得到这个问题的两个证明方法：

$2^n=(1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n.\$

因为A的幂集就是A的所有子集构成的集合。

因此看右边就是对A的子集个数进行分类，子集个数为k的子集一共有 $C_n^k$ 个，加起来就是所有的子集个数。

看左边的话，要确定一个A的子集，只需要对A的每个元素确定它是不是在此子集中即可。

因此对于A中的n个元素，每个元素都有两种情况，在或者不在此子集中。

利用乘法原理，我们便得到一共有2的n次方种情况，即有2的n次方个子集。

正是由于以上事实，当集合A是无限集时，假设势为a(a非有限), 我们采用记号 $2^a$ 来表示A的幂集的势。

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来源：知乎 www.zhihu.com

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