有些人，一旦错过就不再——论无穷乘积

一

应桑是个害羞而胆怯的男孩，他暗恋着隔壁班的黯雨，每天下午放学时都能遇到她，但是却一直羞于表白。他不知道的是，其实黯雨也在暗恋着他，如果能上去表白，一定是能成功的。奈何应桑一直缺乏自信，第一天放学时，他能鼓起勇气上前表白的概率只有 $\frac{1}{2}$ ；如果第一天没有鼓起勇气上前表白，自己的内心就会更纠结，第二天放学时，他能鼓起勇气上前表白的概率就只有 $\frac{1}{4}$ 了；到了第三天，他会变得更加纠结，能鼓起勇气的概率就只有 $\frac{1}{8}$ 了，依此类推，每天会随着内心的纠结概率减半，也就是说第 $n$ 天应桑鼓起勇气向黯雨表白的概率，只有 $\frac{1}{2^n}$ 。应桑虽然害羞，但是却一直这么安慰自己：不用担心，虽然我很胆小，但是给我足够长的时间，是一定有机会让自己鼓起勇气，不会让自己抱憾终生的。他便用这种思维来安慰自己、麻醉自己，似乎和黯雨在一起只是时间的问题。如果应桑每天是否选择表白是相互独立的，那么，他的想法正确吗？

二

我们先来计算一下“永远错过”的概率。第一天错过的概率显然是 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ；而到了第二天，继续错过的概率是 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ，由于和第一天的概率相互独立，所以总的错过概率是 $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{8}$ ；依此类推，前 $n$ 天一直错过这场表白机会的概率则是 $\prod_{j=1}^n(1-\frac{1}{2^j})$ 。这么算起来，永远错过，一辈子抱憾终生的概率则是

$\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{1}{2^j})=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{7}{8}\times\cdots$

这，就涉及到无穷乘积的概念了。在数学分析中，如果一个正项无限乘积的部分积（即前 $n$ 项的积）的极限为一个正数，则我们称这个无穷乘积收敛；而即使部分积的极限为 $0$ ，我们也称这个无穷乘积是发散的。注意这个定义和无穷级数的敛散定义的区别。所以，应桑不会抱憾终生，当且仅当，上面这个无穷乘积趋于 $0$ ，即这个无穷乘积发散。当这个无穷乘积收敛到一个正数，就说明存在相应的概率，应桑只能一辈子因为错过这个青春的美好而遗憾。

三

下面，我们用一个很初等的方式，来证明这个无穷乘积是收敛的。

首先，我们先用对数，“化积为和”。由于 $0$ 的对数是 $-\infty$ ，所以无穷乘积的敛散性和其对数的无穷级数的敛散性等价。也就是说，我们只需证明无穷级数 $\sum_{j=1}^\infty\ln(1-\frac{1}{2^j})$ 收敛即可。

注意到，由于 $\ln(1+x)$ 是上凸函数，故在 $x\in[-\frac{1}{2},0]$ 范围内，我们有 $\ln(1+x)\geq 2\ln 2 \; x$ ，如下图所示。

故我们有

$\begin{eqnarray*} & & \sum_{j=1}^n \ln(1-\frac{1}{2^j})\\ & \geq & -2 \ln 2 \sum_{j=1}^n\frac{1}{2^j}\\ & \geq & -2 \ln 2 \end{eqnarray*}$

故 $\sum_{j=1}^\infty \ln(1-\frac{1}{2^j}) \geq -2 \ln 2$ 。又由于该级数为负项级数（每一项均为负数），故该级数收敛，且其级数和不小于 $-2\ln 2$ 。换句话说， $\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{1}{2^j})\geq e^{-2\ln 2}=\frac{1}{4}$ ，也就是说，应桑至少会有 $25\%$ 的概率抱憾终生。

四

事实上，在数学分析中有一个关于无穷乘积的重要定理：

定理. 若有 $\forall n,a_n>0$ 或 $\forall n, a_n\in(-1,0)$ ，则 $\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)$ 和 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 敛散性相同。

由这个定理，我们同样可以证明本文要证的无穷乘积是收敛的，因为 $\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}=1$ 。

五

这个无穷乘积 $\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{1}{2^n})$ 的确切值，事实上可以用无穷 $q$ -Pochhammer 记号来表示：

$(a;q)_\infty=\prod_{j=0}^\infty (1-aq^j)$

q-Pochhammer Symbol

在本例中，应桑抱憾终生的概率，则等于 $(\frac{1}{2};\frac{1}{2})_\infty\approx0.288788095086602\cdots$ 。也就是说，事实上有约 $28.9\%$ 的概率，应桑要与明明相互暗恋、本可以走向幸福结局的黯雨，失之交臂，擦肩而过，年老时，会后悔为什么没有去追寻真爱。正所谓，有些人，一旦错过就不再。

就算时间是无限的，对于一个概率随时间流逝而无限减少的事件来说，真的是有可能一次都不发生的。应桑的自我安慰，从理性的角度来看，是不对的。

六

对于可怜的应桑君来说，怎么规避这高达 $28.9\%$ 的抱憾终生的概率呢？由于黯雨酱是一定会答应他的求爱的，他唯一的办法就是，让自己变得更有勇气，不再那么胆怯。至少，他只要勇敢那么一丁点，比如说，把第 $n$ 天的表白概率提高到 $\frac{1}{n+1}$ 哪怕是 $\frac{1}{n+100}$ ，他也不会抱憾终生了——根据上述定理，调和级数是发散的，所以这个错过的概率的无穷乘积，也是发散到 $0$ ，他就可以以 $100\%$ 的概率，终能等到自己鼓起勇气向黯雨表白，然后有情人终成眷属的一天了。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：荆哲

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