概述内容
《辞海》注释：“幻方亦称魔方。”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横）。方格填数是一种古老的、到现在仍很流行的数学游戏。将从1至N*N的自然数排成纵横各有N个数，将每一行、列或对角线上N个数的和均为N（1+N*N）/2的正方形数表。最小的幻方是九格幻方，可以通过实验证明，不可能有四格幻方存在。汉代已有三行的纵横图（如图），称为九宫。
性质
幻方具有如下一些性质：
（1）幻方的阶数是指幻方的行或列的数目。例如洛书九宫图即三阶幻方，如上图。
（2）幻方的每一行、列或对角线上n个数的和是同一个数，这个数称为幻和，可用以下方法之一求得：
①已知幻方的阶数n为某数，求N（1+N*N）/2的值？（n为大于2的自然数）如下图所示。
②对于任意大小的幻方，取任一条对角线上的数的和即是它的幻和。如下图所示。
已知幻方的阶数n，且该幻方的最大数L与最小数S，求n（L+S）/2的值。
（3）任意两个中心对称的数互补，且等于该幻方最大数与最小数的和。如下图：
幻方起源
目前一致公认最早的幻方起源于中国。1977年，在中国安徽阜阳县发掘出一批双谷堆西汉汝阴墓的古文物，其中有一个太乙九宫占盘，上刻有中国古文明的精粹遗产——河图和洛书。
河图为四方形，十个数用黑白圆点表示，奇数1、3、5、7、9用白点表示，偶数2、4、6、8、10用黑点表示。将河图四方的八个数1、3、7、9与2、4、6、8看作两个平面，奇数点平面保持不动，在平面内将7与9互换位置，偶数点平面左旋45°，在平面内将2与4互换位置，奇数点在平面之上，偶数点平面在下，使得5在平面中显用，10不显而藏于用，这就是洛书。
洛书九宫图就是将河图、洛书再加八卦九宫综合而成的图像。洛书九宫图，即三阶幻方。每行、每列及对角线的各数字之和都相等，均为15。洛书九宫图上的数字，代表九个飞星。此飞星的飞伏是有一个神秘飞行的轨迹的，这套原理又称为“八十一步量天尺”。我们知道这个飞行轨迹之后，实际上就掌握了洛书九宫图（三阶幻方）的构造方法。
九宫飞星的飞行轨迹揭秘演示如下：
1.将1填写在九宫图最末行中间一列。
2.当1填好后，将1的后继数依次填写在它的右上方，如下图上箭头所示。
若外溢，则填写在九宫图内相应位置，如下图上3、5、6、8。若重叠，则填写在九宫图内前一数的上方，如下图上的4、7。
古今中外的精彩幻方
1.中国伊斯兰教传世玉挂
1980年，上海博物馆在整理明代古墓，发现了上海陆家嘴公园陆深古墓出土文物——玉挂（玉佩），玉挂上有一个泛对角幻方。如下图所示。
它不仅具有四阶幻方的一般性质，即每行、每列及对角线上数的和为同一个数34，还具有以下特性：
（1）任一“延伸”的对角线上四个数的和也等于34。如下图所示。
如：4+6+13+11=34，14+12+3+5=34，11+7+6+10=34，1+13+16+4=34……
（2）任一2×2的方图内的四个数的和也等于34。如下图所示。
如：8+11+13+2=34，14+1+7+12=34，3+16+10+5=34，9+6+4+15=34…….
（3）任一三阶子幻方的四角四个数的和也等于34。
如：8+14+3+9=34，11+1+16+6=34……
2.耆那幻方（Jaina Square）
耆那幻方刻在印度哈周拉合市的耆那寺庙门前一块石碑上。如下图所示。
这个幻方是一个泛对角幻方（完美幻方）。1977年，美国发射了“旅行者一号”和“旅行者二号”宇宙飞船，飞船上载了两件与数学有关的物件，一个是勾股数，一个是耆那幻方，将它们作为人类智慧的信号，试图与”外星人”建立联系。
3.丢勒名画《忧郁者》
1514年，德国画家兼数学家丢勒雕刻了一幅名为“忧郁者”的钢板画，这幅画反映了智者的忧郁。在画中有一个四阶幻方，幻方最末行中间两个数是14、15，正是丢勒作画的年代。如下图所示。
4.元代安西王府幻方铁板—六六幻方
陕西历史博物馆馆藏西安东郊元代安西王府遗址的出土文物——f幻方铁板，如下图所示。
下图就是铁板幻方的中、英文说明：
参考文献：
- 吴鹤龄. 幻方及其他[M]. 科学出版社, 2004.
- 王冬梅. 奇数阶幻方变换数字图像的准周期[J]. 浙江工业大学学报, 2005, 33(3):292-294.
- 金丕龄. 幻方的智慧[M]. 上海交通大学出版社, 2010.
- 李超. 用横纵线路图构造幻方[J]. 湖南师范大学教育科学学报, 1994(5):37-42.
- 詹森, 王辉丰. 关于构造高阶幻方的新方法[J]. 海南师范大学学报(自然科学版), 2009, 22(3):251-255.
来源：知乎 www.zhihu.com
作者：einmal01
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