为什么两个半音一起弹奏不会产生拍频（beat）？

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视频终于上传成功了！原来是格式的问题，视频中的音频必须是 44.1 kHz 采样、双声道格式才行。

从我马克到写完答案、上传视频的一天里，本问题下已经涌现了许多好答案，这才是知乎该有的样子！

一、预备知识

人的耳朵和大脑在处理声音信号时，根据信号中特定特征反复出现频率的高低，有两种明显不同的模式。当特征反复出现的频率较低时，人可以分辨出它每一次出现的时刻，把信号理解成节拍；但当它反复出现的频率很高时，打拍子就跟不上了，此时耳朵就发挥了作用，把这个信号理解成乐音。这里面低频和高频的分界线，在 20 Hz ~ 40 Hz 左右。

人的耳朵与大脑的上述特点，跟信号处理中的「短时傅里叶分析」非常相似。短时傅里叶分析，是把一段长信号截成许多帧，对每一帧进行傅里叶变换求得频谱，再把各帧的频谱并排起来得到整段长信号的语谱图。语谱图的横轴是时间，纵轴是频率，颜色表示能量的高低。短时傅里叶分析的一个重要参数是帧长（也叫窗长）。当信号中特定特征出现的频率较低，低于帧长的倒数时，它就会在有些帧中出现，在有些帧中不出现，于是在语谱图上形成沿横轴重复的图样。当特征出现的频率较高，比帧长的倒数还高出一截时，它就会在所有帧中都出现（甚至出现多次），于是这种特征的频谱就会在时间轴上铺展开来，在语谱图上形成沿纵轴重复的图样。

利用短时傅里叶分析，可以把人的听觉感受转换成视觉来呈现，有助于理解。下面的视频，就播放了一系列频率不同的脉冲串，同时画出了波形和语谱图。脉冲串的频率由 1 Hz 开始，逐渐加倍，直到 512 Hz。信号的采样率是 16384 Hz，根据奈奎斯特采样定理，语谱图的频率上限就是 8192 Hz。做短时傅里叶分析时使用的窗长是 512 个采样点，即大约 31.3 毫秒，其倒数为 32 Hz，大约就是节拍和乐音的分界线。可以看到，当脉冲串的频率超过 32 Hz 后，语谱图上的纵纹就开始转变为横纹，同时你听到的东西也从节拍转变成乐音了。

看过上面的视频，你应该能体会到短时傅里叶分析的时域分辨率是有限的：当脉冲在时间轴上靠得太近的时候，它们在语谱图的时间轴上就分不清了，反倒会沿频率轴形成图样。其实，短时傅里叶分析的频域分辨率同样是有限的，这是因为「截取一帧」的操作相当于把信号与窗函数相乘，这会让频谱产生弥散。如果信号中有两个频率分量的频率太过接近，它们在语谱图的频率轴上也会分不清，而是沿时间轴形成图样，这就是下面要分析的「拍频」现象。

二、两个正弦信号的叠加

我们从最简单的情形开始：先假设两个乐音都是最简单的正弦波。设它们的频率分别为 f+\Delta f 、 f - \Delta f 。为简单起见，设两个正弦波的幅度相等、初相均为 0。则两个正弦波之和可以表示为：

x(t) = \sin[2\pi (f+\Delta f) t] + \sin[2\pi (f-\Delta f) t] \qquad (1) \

根据和差化积公式，上式也可以写成：

x(t) = 2 \sin( 2\pi \cdot f \cdot t) \cos (2\pi \cdot \Delta f \cdot t) \qquad (2) \

两个式子是等价的，但根据 \Delta f 的大小不同，其中有一个式子会比另一个式子更直观地描述语谱图及人的听觉。

当 \Delta f 很小时，(1) 式中两个频率分量的频率就很接近，于是在听觉上就都分不开了。而根据 (2) 式，信号可以看成是一个频率为 f 的振动 \sin(2\pi \cdot f \cdot t) ，但是它的振幅按 |2 \cos (2 \pi \cdot \Delta f \cdot t)| 在变化。这个振幅的变化频率 2\Delta f 很低，于是就能被听成节拍，这就是「拍频」现象。此时 (2) 式能更直观地描述听觉。

当 \Delta f 较大时，若按 (2) 式理解，则振幅的变化频率 2\Delta f 较高，无法被听成节拍，故 (2) 式并不直观。相反，(1) 式中两个频率分量的频率相差较大，可以被分开，于是人就会把信号听成双音。此时 (1) 式能更直观地描述听觉。

下面的视频，展示了 f = 440\text{ Hz} ， \Delta f 由 1 Hz 逐步倍增至 256 Hz 时，两个正弦波叠加的波形和语谱图。可以听到，当 \Delta f 达到 32 Hz 时，听觉上虽然还略有抖动，但其实已经很像双音了；语谱图上两个频率分量也快要分开了，沿横轴变化的图样也基本消失。

如果题主用 440 Hz 和 493.8 Hz 两个正弦波叠加，就相当于 f = 466.9\text{ Hz} ， \Delta f = 26.9\text{ Hz} 。这跟上面视频中 \Delta f = 32\text{ Hz} 的情形比较接近，处于拍频和双音的临界，如果仔细听，还是能听出一点儿拍频的。

上面的分析中为简单起见，设定了两个正弦波的幅度相等、初相均为 0。实际上，初相对问题的分析没有影响；幅度不相等时，振幅没有彻底减小为 0 的瞬间，因此拍频现象会弱一些，但没有本质不同。

三、两个非简谐信号的叠加

大部分乐器产生的声音都不是单纯的正弦波，而是具有许多频率分量的非简谐波。在这一节中，我用方波来举例。同样设两个方波的频率为 f+\Delta f 、 f - \Delta f ，幅度相等，初相均为 0。两个方波的叠加可以表示为：

x(t) = \text{sign}\{\sin[2\pi (f+\Delta f) t]\} + \text{sign}\{\sin[2\pi (f-\Delta f) t]\} \qquad (3) \

其中 sign(正数) = 1，sign(负数) = -1，sign(0) = 0。

方波的叠加就没有和差化积公式了，所以我就不多做计算，直接上视频了。下面的视频展示了 f = 440\text{ Hz} ， \Delta f 由 1 Hz 逐步倍增至 256 Hz 时，两个方波叠加的波形和语谱图。

可以听到，哪怕 \Delta f 只有 4 Hz 的时候，拍频现象就已经不太明显了。从语谱图上可以看出，虽然方波的基波和三次谐波（方波没有偶数次谐波）形成了沿横轴变化的图样，但更高次的谐波都已经能在频率轴上分开了。这些高次谐波在一定程度上淹没了基波和三次谐波的拍频现象。

题主在钢琴上弹奏 440 Hz 与 493.8 Hz 这两个音，听不出拍频，应该就是由于高次谐波的淹没作用。

有心的读者也许注意到了，当 \Delta f 较高时，有些比较高频的分量会形成拍频。比如当 \Delta f = 32\text{ Hz} 时，在略高于 6 kHz 处有谐波形成了拍频。这个拍频，其实是 (440 – 32) Hz 的 15 次谐波 6120 Hz 与 (440 + 32) Hz 的 13 次谐波 6136 Hz 叠加形成的。不过，由于方波 n 次谐波的幅度只有基波的 1/n，上面这个拍频的能量极弱，是听不出来的。

四、三个正弦信号的叠加

设三个正弦信号的频率分别为 f 、 f + \Delta f 、 f - \Delta f ，幅度相等，初相均为 0。它们叠加后的效果如下面的视频所示。三个正弦信号叠加产生的拍频现象比较复杂，其包络呈现大包小包相间的模式。由于小包的阻隔，拍频转化为三音的临界频率比两个正弦信号叠加时高了一点儿：当 \Delta f = 32\text{ Hz} 时，听觉感受还是以拍频为主；但当 \Delta f 达到 64 Hz 时，听觉感受就以三音为主了。

三个正弦信号叠加时，信号之间的相位关系也会有影响。比如，若把频率为 f 的那个信号由正弦改为余弦，则叠加效果如下所示。此时并没有大小包的交替，但音高呈现出了渐高、渐低交替的模式（可以叫「抖音」？）；这种模式在 \Delta f = 16\text{ Hz} 时尤为明显。当 \Delta f 达到 32 Hz 时，抖音开始转变为三音，到 64 Hz 时听起来就完全是三音了。

五、总结

两个正弦波叠加时，如果频率差在一定阈值以内（粗略地说，差 50 Hz 以内吧），就能听出拍频现象。

如果是两个非简谐波叠加，那么基波形成的拍频会受到不形成拍频的高次谐波的淹没，上述阈值会降低不少。

如果是多个正弦波叠加，那么根据它们之间相位关系的不同，上述阈值可能会略有调整，也可能形成「抖音」等比拍频更复杂的现象。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：王赟 Maigo

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