如何进行电机动态模型的识别

一、为什么进行系统识别

系统建模有两种方法：

机理分析法（First Principles Modeling），又称白箱（white-box）建模法：通过物理、化学、生物等学科的相关原理写书数学模型；
辨识法（Identification），又称黑箱（black-box）建模法，根据测量得到的输入输出数据得到模型。

任何一个系统都有一个真实的模型，而且真实系统严格来说是非线性且时变的，因此只能用有限维线性时不变系统模型来近似。即便是近似，真实的模型在绝大多情况下通过机理分析法是很难获得的，即使能够获得，一般也及其复杂而无法使用的。在这种情况下，辨识法就成了我们为数不多的选择，目的是希望得到的模型是复杂度在可接受的范围内，能够基本反映真实系统的模型。

二、系统识别的基本思想

假设我们通过那次观察，测得系统的输入为： $u[0],u[1],u[2],...u[n]$ ;

测得系统的输出为： $y[0],y[1],y[2],...y[n]$ ;

假定系统的数学模型如下：

$y[k]+ay[k-1]=bu[k-1]+v[k]$

其中 $v[k]$ 为扰动误差。显然，该模型的参数向量为 $\theta=[a \quad b]^T$ ，一个很显然的想法就是对参数向量 $\theta$ 的最佳估计应当是对所有时刻的扰动的平方和最小的一组参数，即

$\hat{\theta}=argmin\sum_{k=1}^nv^2[k]=argmin\sum_{k=1}^n\left\{ y[k]+ay[k-1]-bu[k-1]\right\}^2$

要想取得极值，需要

$\frac{\partial V(\theta)}{\partial a }=0,\frac{\partial V(\theta)}{\partial b }=0$

便可以获得模型的参数估计值 $a$ 和 $b$ ，这就是辨识法最简单的基本思想。当然，实际的模型识别要比这复杂一些，但本质没有变化。

三、如何识别直流电机系统模型

以下算例是对MATLAB案例的解释，原文请看Estimate Nonlinear Grey-Box Models。

以简单的直流电机为例，一个典型的直流电机的数学模型如下：

其中 $K_m$ 为力矩系数， $K_b$ 为反电势系数， $L$ 为线圈电感， $R$ 为线圈电阻， $J$ 为转子转动惯量， $K_f$ 为转子阻尼系数， $T_d$ 为负载， $\omega$ 为转子速度， $\theta$ 为转子位置， $V_a$ 为端部电压，这就是理想直流电机的数学模型，注意这是开环的电机模型。

电压平衡方程式为： $V_a(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+V_{emf}(t)$

反电势方程为： $V_{emf}(t)=K_b\dot{\theta}(t)=K_b\omega (t)$

力矩方程为： $T_a(t)=K_m \cdot i(t)$

转子的力矩平衡方程为： $J\ddot{\theta}(t)=T_a(t)-T_d(t)-K_f\dot{\theta}(t)$

因为 $L$ 一般比较小，而且电气时间常数一般远比机械时间常数小，我们可以忽略电感 $L$ ，即忽略电气瞬态过程，这样在建立状态方程时就可以减少一个状态变量

则可以得到直流电机的状态方程为：

$\dot x(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1/\tau \end{bmatrix}x(t) +\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\beta}{\tau} \end{bmatrix}u(t) +\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\gamma}{\tau} \end{bmatrix}T_d(t)$