爱因斯坦场方程是怎么推导出来的？

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在经典力学中，重力被表述为\nabla^{2}\Phi=4\pi G\rho

其中\Phi是经典力学中的重力势（gravitational potential）。

在往相对论的方向推广时，密度\rho的地位会被能动张量（energy-momentum tensor）所替代，而重力势\Phi所描述的重力则要转而取决于时空的度规（metric）g_{\mu\nu}。

于是我们可以先对推广之后的张量方程的形式做一些猜测。首先，通过观察上述式子，我们可以合理地猜测最终的方程应该有如下性质

F(g,\partial_{\lambda}g,\partial_{\gamma}\partial_{\sigma}g)_{\mu\nu}\propto T_{\mu\nu}

其中F_{\mu\nu}是一个取决于度规及其一阶和二阶导数的(0,2)型张量。于是，一个很自然的尝试便是里奇张量（Ricci tensor）：

F_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}

但这显然是不正确的，因为我们有

\nabla^{\mu}T_{\mu\nu}=0
\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R

但是，我们可以构造

\nabla^{\mu}(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})=\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla^{\mu}R=\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R=0=\nabla^{\mu}T_{\mu\nu}

于是便可以写下

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}

接下来的目标便是确定系数\kappa。

我们知道，当物体运动速度远小于光速，且重力场为静态的弱场时，上述方程会退化为经典力学中的情况。我们可以利用这一点来确定\kappa。

首先写下理想流体（perfect fluid）的能动张量

T_{\mu\nu}=(\rho+p)U_{\mu}U_{\nu}+pg_{\mu\nu}

在低速情况下，能动张量中的压强可以忽略不计，因此

T_{\mu\nu}=\rho U_{\mu}U_{\nu}

于是在相对流体静止的参照系中我们有

T_{00}=\rho

因此得到

T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=-\rho
R=\kappa\rho

所以R_{00}=\frac{1}{2}\kappa\rho。

根据R_{\mu\nu}的定义，我们知道

R_{00}=R^{\mu}_{\ 0\mu 0}

其中，利用黎曼张量（Riemann tensor）的反对称性可以立即得到R^{0}_{\ 000}=0。再加上为了得到牛顿极限我们默认此时重力场是静态的，于是度规的所有一阶导数都为零，最终化简得到

R_{00}=-\frac{1}{2}\nabla^{2}h_{00}

其中h_{00}是度规的扰动h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}的(00)分量

也就是说

\nabla^{2}h_{00}=-\kappa\rho。

由测地线方程（geodesic equation）可以推出为了得到经典力学极限必须令h_{00}=-2\Phi。也就是说

\nabla^{2}(-2\Phi)=-2\nabla^{2}\Phi=-\kappa\rho

将上式与经典力学中的\nabla^{2}\Phi=4\pi G\rho作比较，可以立即得到

\kappa=8\pi G

于是便将Einstein Field Equations确定下来了

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}

更进一步，考虑到广义相对论中所用到的联络（connection）与度规是相容的，也就是说\nabla^{\mu}g_{\mu\nu}=0，于是我们发现如果往上述方程的左边再加入一项\Lambda g_{\mu\nu}，方程仍然是合理的，因为此时左右两边取协变导数\nabla^{\mu}都为零。

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}

方程中的常数\Lambda被称为宇宙学常数（cosmological constant），它被认为是暗能量的一种可能的形式，为了得到宇宙学常数，我们可以在原来的方程右边加上一项代表真空能量密度的能动张量T^{(vac)}_{\mu\nu}=\rho^{(vac)}g_{\mu\nu}，得到

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi G(T_{\mu\nu}+T^{(vac)}_{\mu\nu})

化简可得\rho^{(vac)}=\frac{\Lambda}{8\pi G}。由于真空能量密度与宇宙学常数之间只相差了一个常数因子，因此在很多情况下这两个概念可以被认为是等同的。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：卢健龙

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