欧拉公式，复数域的成人礼

之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是 $a$ 、 $b$ 两个任意实数，外加虚数 $i=\sqrt{-1}$ ，把它们结合在一起，就完成了：

$a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})\$

但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：

我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。—-约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\$

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白：

0的出现就是数学的奇点：

根据皮亚诺定理（可以参考为什么1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含0？）：

很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：

添加负数之后，有一个问题就出现了：

$4^{-1}=\color{red}{?}\$

我们知道 $4^3$ 是对 $4\times 4\times 4$ 的缩写，并且容易推出如下计算规则：

$4^{2}\times 4^{3}=4^{2+3}=4^5\$

我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：

$4^{-1}\times 4^{1}=4^0=1\implies 4^{-1}=\frac{1}{4^1}\$

更一般的有：

$4^{-n}=\frac{1}{4^n},\quad (n\in\mathbb{Z}^+)\$

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：

$\begin{array}{c|c} \hline \\ \quad 4^3\quad&4\times 4\times 4\quad \\ \quad 4^{-3}\quad&\quad 1\div 4\div 4\div 4\quad\\ \\ \hline \end{array} \$

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：

$\frac{a}{b},\quad(a,b\in\mathbb{Z},b\ne0)\$

来填满这些空隙（示意图）：

还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：

自然会有这么一个问题：

$4^{\pi}=\color{red}{?}\$

$\pi$ 是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。如果比较了解复数的运算法则了，可以跳到第三节去阅读。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：

$x^3-3px-2q=0\$

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

$x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}\$

如果 $p=5$ 、 $q=2$ ，可以得到方程：

$x^3-15x-4=0\$

从图像上看， $x^3-15x-4$ 与 $y=0$ 有三个交点的：

套用通解会得到：

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-5^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-5^3}}=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}\$

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：

$加法：(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i\$

$乘法：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi^2\$

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量 $z=a+bi$ 有：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 名称\quad&\quad 解释\quad&\quad 符号 \\ \hline \\ \quad 模\quad&\quad 长度\quad&\quad |z|\quad \\ \quad 幅角\quad&\quad 与实轴正方向的角度\quad&\quad \arg(z)\\ \\ \hline \end{array} \$

复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（ $Re$ ），纵坐标是虚轴（ $Im$ ），下图还把刚才的符号给标了出来：

加法的几何意义和向量也一样：

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则，计算可得：

$(a+bi)i=-b+ai\$

画出来发现，两者是正交的：

还可以从另外一个角度来理解这一点， $i$ 在复平面上是这样的：

那么， $(a+bi)$ 乘以虚数 $i$ ，就是：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度\quad&\quad 幅角\quad \\ \hline \\ \quad z=a+bi\quad&\quad |z|\quad&\quad\arg(z)\quad \\ \quad i\quad&\quad |i|=1\quad&\quad\arg(i)=90^\circ\quad \\ \quad z\times i\quad&\quad |i|\times|z|\quad&\quad\arg(z)+\arg(i)\quad \\ \\ \hline \end{array} \$

对于一般的向量 $c+di$ ，也符合这个规律：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度\quad&\quad 幅角\quad \\ \hline \\ \quad z_1=a+bi\quad&\quad |z_1|\quad&\quad\arg(z_1)\quad \\ \quad z_2=c+di\quad&\quad |z_2|\quad&\quad\arg(z_2)\quad \\ \quad z_1\times z_2\quad&\quad |z_1|\times|z_2|\quad&\quad\arg(z_1)+\arg(z_2)\quad \\ \\ \hline \end{array} \$

好了，知道这些差不多了，开始正题。

3 复数域的扩张

好了，轮到复数域了，复数定义为：

$a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})\$

那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：

$e^{i}=\color{red}{?}\$

这个问题可以用欧拉公式：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\$

来回答，取 $\theta=1$ ，可得：

$e^{i}=\cos 1+i\sin 1\$

画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：

更一般的，欧拉公式说明， $e^{i\theta}$ 是单位圆上幅角为 $\theta$ 的点：

但是，欧拉公式 $\color{red}{凭什么}$ 长这个样子！

3.1 $e^x$ 的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的 $e^x$ 函数，起码有三种定义方式：

极限的方式：

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\$

泰勒公式的方式：

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\$

导数的方式：

$e^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x\$

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为：

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\$

我们可以大胆地令 $x=i\theta$ ：

$e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n\$

那么之前的 $e^i$ 就等于：

$e^{i}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i}{n}\right)^n\$

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为 $e^i$ 对应的是单位圆上幅角为 $1$ 的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为 $1$ ：

然后取 $n=3$ ，可以得到：

$\left(1+\frac{i}{3}\right)^3=\left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)\$

根据复数的乘法规则，可以看出：

取 $n=10$ ：

取 $n=30$ ，已经很接近单位圆上幅角为1的点了：

对于更一般的 $e^{i\theta}$ 也是同样的：

当 $n=100$ 时，就很接近单位圆上幅角为 $\theta$ 的点了：

可以证明当 $n\to\infty$ 时， $e^{i\theta}$ 为单位圆上幅角为 $\theta$ 的点，也就是得到了欧拉公式：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\$

可能你还会问，直接替换 $x$ 为 $i\theta$ ，合理吗：

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\implies e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n\$

这里是理解欧拉公式的 $\color{red}{关键}$ ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义 $e^{i\theta}$ 。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以 $0$ ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

$\begin{aligned} 0=0\implies 2\cdot 0=1\cdot 0\implies \frac{2\cdot 0}{0}=\frac{1\cdot 0}{0}\implies 2=1 \end{aligned} \$

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下，有这些泰勒公式：

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\$

$\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\$

$\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots\$

也是直接替换 $e^x$ ，令 $x=i\theta$ 有：

$\begin{aligned} e^{i\theta} & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \\ &=\cos\theta + i\sin\theta \end{aligned} \$