评论区有人说是否能放上直接拉升的对应曲线。我并没有找到这么一个图（有兴趣的话大家可以去看看Bryson那篇论文，我这里下载不了只能去图书馆查看，有空我会去看看）。我个人觉得也许在Bryson之前美国空军也不是就真的直接拉升到底，他们一定也有他们的经验，他们一定也有相应的飞行方案。但只是那些方案在最优解面前都相形见绌罢了吧。
这是一个很重要的问题。试想在战争中你的飞机能比对方的飞机提早达到一个既定高度，节省了时间就是掌握了主动。也不难想为什么Bryson的研究会触发大面积的最优控制研究。
再补一个最优解的攻角（angle of attack）的图。
神奇的地方在于最后拼命爬升的阶段，攻角一下子变成负的。大家可以想象一下这是个什么样的姿势。当然这肯定和空气动力学有关，从之前的速度图可以看出来，最后爬升阶段飞机的速度是不停地在减小的。所以飞机以一个负攻角，减速的状态，迅速爬升到20km。这里面当然不只有数学的知识，空气动力学一定有相应的解释。但数学的魅力就在于，通过数值模拟，就能得到一个最优的方案，即使我对空气动力学等等毫不了解。
以下为原答案。
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说一个计算数学的吧。这个问题是由Arthur E. Bryson在1969年的一篇paper里面提出。Arthur E. Bryson被称为“现代最优控制理论之父（father of modern optimal control theory）”。而这篇paper里所计算的这个问题正是optimal control被真正重视的开端。
用通俗易懂的语言表达他所考虑的问题。假设有一架飞机，目标是让飞机爬升到20km的高空，问题是如何飞行才能爬升到20km的高度而所用的时间最短？
正常的思路或者说“显然”的思路，应当是起飞后就全速向上爬升，因为我想要在最短的时间内爬升到20km的高度，当然我会不停地向上加速。事实上在Bryson以前，美国军方就是这么做的。想在最短时间内爬升到一个既定的高度，他们就是冲着上方不停加速拉升。
但事实不仅不是这样，而且非常反直觉。
首先我们需要将这个问题转化为一个数学问题。本质上，这是一个最优控制问题。
我们要优化的是时间，也就是说目标函数是t，也就是要取最优的t，但我们要控制的是飞机的速度，攻角（angle of attack）等等。所以就是有一个目标函数加上一系列的约束（常微分方程的约束），这就是标准的最优控制（optimal control）问题。
当然这个模型比较复杂，这里就不细说。但总归他是一个常微分方程约束的优化问题。那个年代可能还没有完整的理论，不过Bryson确切地说是一个工程师，所以理论不理论的不重要，把这个问题算出来才是关键。
我们直接跳到结论，下图就是Bryson计算出的结果。
这张图的横坐标是时间，纵坐标是高度。仔细看下这张图，首先，我们可以看到飞机大约用了320秒爬升到20km的高度。其次，在前30多秒，飞机并没有爬升，而是在一个比较低的高度持续飞行。再次，当飞机爬升到快10km的高度的时候（100秒左右），它居然开始降低高度。一直到大约160秒之后才继续爬升。
如果按照“正常“的思路，这张图应当是一条直线，从原点到20km高度的直线。然而最优的结果，也就是用时最少的结果，居然是一个这么奇怪的飞法。再来看下一张图。
这张图的横坐标是速度，纵坐标是高度。所以从这张图里可以看出，在刚起飞的时候，飞机并没有爬升，而是在不停地加速，等速度到了300m／s的时候飞机开始爬升，但爬升的时候速度是在减小的。到了10km左右的高度，飞机再次提速，但是是往下俯冲的而不是爬升的。直到超过500m／s的时候，飞机再迅速爬升，而这时速度却在不停减小。
所以从这两张图可以看出来，最优的方案显然和“直觉”相差太多。所以当Bryson把这个结果交给美国军方的时候，那些经验丰富的空军是完全不买账的。但是，最终Bryson还是说服他们用这样的方案试飞几次，看看是否爬升到20km的时间比之前的要少。结果当然是amazing的，实际操作所用的时间和Bryson计算出来的最优时间相差不到5秒（当然小于直接不停爬升的飞法）。
这在当时是一个令人震惊的结果。也是由这个结论开始，最优控制才走上了一个重要的舞台。现如今所有的飞行都会以最优控制为标准，事实上很多航空航天的问题都在寻求实时最优控制，也就是给出问题，数据，地面马上计算给出最优方案， 这就是所谓的“实时”。这要求有非常快速的算法支持，这方面现在已经有很多很快的软件。
这个反直觉的事实实际上是在一个最优控制的workshop上由一位speaker用来做motivation的。因为它非常出名而且非常反“直觉”，所以才有必要进行最优控制。而不是凭着所谓的直觉去飞行。我想再有经验的飞行员，也不能凭经验去飞出刚才上图所描述的飞法。
随着最优控制的重要性体现出来，对其求解的快速算法就变得重要。而快速算法就得依靠数学。这样计算数学家才会去提出各种算法，研究此类的问题。我想这是一个非常好的，体现数学在科技领域的重要性的例子。
来源：知乎 www.zhihu.com
作者：sjing
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