能带上的迈克尔孙干涉仪

关于这个工作的背景请参考知乎上文章和想法，目前已经发表于 J. Phys. B: At. Mol. Opt. (Letter) 。

这里是对该工作思路的一个简单科普（当然论文本身写的就够科普了），本文假定读者具有固体物理和光学的相关知识。

我们知道晶体具有离散的空间平移对称性。从这个对称性出发，我们有守恒的准动量、能带、布里渊区等等一系列概念。具体而言，在单电子近似下，系统的哈密顿量可以写作

$H_0 = \frac{1}{2}\bm p^2 +V(\bm r),$

其中 $V(\bm r)$ 为平移对称的有效势。由于这个对称性的存在，系统的本征态可以作如下分解（布洛赫定理）

$\psi(\bm r) = \exp(\mathrm i\bm q\cdot\bm r) u(\bm r)$

其中 $u(\bm r)$ 为周期函数， $\bm q$ 为相应守恒的准动量（好量子数）。我们也可以写下 $u(\bm r)$ 所相应的“哈密顿量”

$H_0(\bm q) = \frac{1}{2}(\bm p+\bm q)^2 +V(\bm r),$

对于不同的 $\bm q$ 值，对角化这个哈密顿量，将这些本征值画在一起，便是固体物理中常谈的能带结构，这里不再赘述。

当给这个系统引入一个外加光场后，在辐射规范下，只需要将原系统哈密顿量中的动量算符 $\bm p$ 替换成 $\bm p+e\bm A(\bm r,t)$ 即可描述光场对该系统的影响。如果光场的波长远远大于晶格常数（在绝大多数情形下，这是自然成立的），我们可以使用偶极近似，略去光场对空间的依赖，即

$\bm A(\bm r,t) = \bm A(t).$

这样，我们发现，系统的离散空间平移对称性得到了保留，上面的操作依旧是成立的！ $\bm q$ 依旧是好量子数，我们可以同样写下 $u(\bm r)$ 的哈密顿量，当然这次是含时的了

$H(\bm q,t) = \frac{1}{2}(\bm p+\bm q+\bm A(t))^2+V(\bm r).$

观察这个哈密顿量，我们很容易联想到绝热定理:

一个含参哈密顿系统，当参数变化足够缓慢且没有能级交叉时，将维持在每一时刻所对应的本征态上。

将这里的 $\bm q+\bm A(t)$ 看作是参数，那么能带上的一个电子本征态 $\left|\bm q(t_0)\right\rangle$ ，在光场的驱动下，将跟着矢势沿着能带“爬”

$\left|u(t)\right\rangle = \exp\left\{\mathrm i\int_{t_0}^t \varepsilon[\bm q(\tau)]\,\mathrm d\tau\right\}\left|\bm q(t)\right\rangle,$

其中瞬时“动量”为

$\bm q(t) = \bm q(t_0) + \bm A(t).$

当然，如果参数的变化不是那么缓慢，这个定理便也不严格成立。但我们依旧可以将电子态按照这个参数下哈密顿量的本征态基作展开，并认为电子仍主要布居在同初态相对应的那个态上。

背景知识铺垫完成，现在开始正题。

考虑某个一维的模型哈密顿量，其具有如图(a)所示的能带结构，其中 $a$ 为晶格常数。对于一个位于价带V2, $q=0$ 处的电子态，当施加一个矢势如图(b)所示的单周期光脉冲时，这个电子态将顺着能带移动。我们考察泄漏到导带C1上的成分。

当矢势到达布里渊区边界，即 $q=\pi/a$ 处，我们发现两条导带C1和C2靠得非常近。我们可以想见，绝热定理在此处很难适用。确实，此处两条能带上电子的布居数将会发生一个大的转移，这个过程被称为 Landau-Zener 隧穿。那么从C1爬上来的电子将分成两束，分别在C1和C2两条能带上运动。

随后，矢势增大到其最大值并减小，在C1和C2上的电子也重新在布里渊区边界上会合，再次发生向上或向下的隧穿，从而决定之后C1和C2上的布居数。我们注意到，由于这两束电子都是从同一处分束而来的，而在两个能带上能量不同从而会积累不同的动力学相位，自然它们之间会产生干涉现象。这实际上就是一个典型的分振幅干涉实验，或者说，干脆就是如图(e)所示的光学迈克耳孙干涉仪！

当然，现在我们仍面临着一个如何测量这个干涉结果的问题。考察仍然留在C2上的电子，当矢势降低时其能量会继续升高，并可能掉回V2并自发辐射出一个高能量的光子。容易判断，在这个情形下，这是产生如此高能量光子的唯一通道。那么只要测量这个能量范围的辐射强度，就能够得到干涉的结果。图(c)正是不同能量的辐射强度随所使用脉冲光的最大矢势变化的关系图（对数标度），很明显，当最大矢势超过布里渊区边界时，我们在高能区（白色虚线框出）看到了明显的干涉条纹。

对于迈克耳孙干涉仪，在光学中我们便知道，其干涉条纹的衬比度与分束镜的透射率无关，而几乎总是1。这个结论在这里依旧成立。我们将虚线框内的辐射强度对不同的能量作一个简单的积分，用红色实线画在图(f)中。很明显，这完全就是一个包络乘上一个简单的余弦函数。我们可以从能带出发计算出电子走两条路径的相位差，依干涉仪的模型以黑色虚线画出其干涉结果，可以看到震荡结构被非常完美的重复了出来。

有了干涉仪之后，我们便可以充分发挥我们的想象力了，干涉仪可以用来测量什么？一个最直接的想法便是贝瑞相位。依旧考虑之前所说的过程，但此时在电子越过布里渊区边界后加上一个垂直的短脉冲光场。那么电子将在能带上作某种闭合轨道运动，沿着这条闭轨道存在一个非零的贝瑞相位。改变垂直光场的符号，电子便会逆着这条轨道运动，贝瑞相位也会反号。测量两种情形下干涉条纹的相位差，便能直接得到贝瑞相位

未尽的细节问题请直接参考原文，或于评论区讨论。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：梁昊

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