【一】量子信息基础

本专栏着力简单介绍量子信息，量子纠错的有关原理，

并使用IBM Q实现一些基础的量子计算。

参考文献：

Quantum Information Meets Quantum Matter

Bei Zeng, Xie Chen, Duan-Lu Zhou,Xiao-Gang Wen，arXiv: 1508.02595v4.

Quantum Computation and Quantum Information

Michael A.Nielsen, Isaac L. Chuang.

1.基础知识

Definition 量子比特

普遍的来说，任何量子比特可以表示为

$|\psi\rangle =\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$

其中 $\alpha,\beta$ 为复系数，并且两者满足 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ ，由于绝对相位的不可观测性，我们一般引入相对相位 $\varphi$ ，将上式写为

$|\psi\rangle=\cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle+\sin(\frac{\theta}{2})e^{i\varphi}|1\rangle$

量子比特可以表示在Bloch球上。

Definition 密度矩阵

密度算符（density operator）与其对应的密度矩阵（density matrix）专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态矢量 $\displaystyle |\psi \rangle$ 来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 $|\psi_i\rangle$ 的概率分别为 $p_i$ 则这混合态量子系统的密度算符 $\displaystyle \rho$ 为

$\rho=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle \psi_i|$

密度矩阵有以下性质：

密度算符是自伴算符: $\rho =\rho ^{{\dagger }}$ .
密度算符的迹数为1: ${\hbox{tr}}(\rho )=1$ .
实验测量可观察量 $A$ 获得的期望值为 $\langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )$ .
密度算符是非负算符： $0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1$ .
若密度算符平方的 ${\hbox{tr}}(\rho^2 )=1$ ，则系统为一纯态；若密度算符平方的迹 ${\hbox{tr}}(\rho^2 )<1$ ，则系统为一混合态。

对于一个二维Hilbert空间，规定Pauli操作 $X,Y,Z$ 与单位矩阵 $I$ ，其中

$\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)=(X,Y,Z)$

则这个Hilbert空间一个普遍的量子态 $\rho$ 可以写成

$\rho=\dfrac{I+\vec{r}\cdot \vec{\sigma}}{2}$

其中 $\vec{r}=(r_x,r_y,r_z)$ 并且 $r_x^2+r_y^2+r_z^2 \leq1$ ，事实上这就是单量子Tomography的基础。

Definition 复合系统

复合系统的Hilbert空间是其所有子系统的Hilbert空间的张量积。

对于两个维度分别为 $d_A,d_B$ 的子系统 $A,B$ ，其Hilbert空间分别为 $\mathcal{H}_A, \mathcal{H}_B$ ，假设其中各自一组正交完备集为

$\{|i_A\rangle\}:i=0,1,\dots,d_A-1, \{|m_B\rangle\}:i=0,1,\dots,d_B-1$ ，则两体复合系统的Hilbert空间为 $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ 。这个空间中任意一个纯态 $|\psi_{AB}\rangle \in \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ 可以写成

$|\psi_{AB}\rangle =\sum_{im}c_{im}|i_A\rangle|m_B\rangle.$

Example 两体两维系统

令二维Hilbert空间 $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ 具有各自的正交完备基 $\{|0\rangle_A,|1\rangle_A\},\{|0\rangle_B,|1\rangle_B\}$ , $\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ 的一组正交基可以写成

$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

因此，任意一个此空间中的量子态可以写成

$|\psi_{AB}\rangle=c_{00}|00\rangle+c_{01}|01\rangle+c_{10}|10\rangle+c_{11}|11\rangle$

Definition N-qubit计算基底

对于N-qubit的系统，一共 $2^N$ 个以长为 $N$ 二进制字符串的标记的基底 $\{|x_N x_{N-1} \dots x_1\rangle\}$ ，其中 $x_i \in \{0,1\}$ 。这组 N-qubit的系统Hilbert空间的基底称为计算基底（Computational basis）。

事实上，在许多情况下，我们可观测的系统仅有整个量子系统之中的一个子系统，这就要引入约化密度算符，其对应的数学操作为矩阵的偏迹，这套理论是Dirac在1930年提出的。

Definition 约化密度算符

对于系统 $A,B$ ，其密度矩阵分别为 $\rho_A,\rho_B$ ，若已知Hilbert空间中的态矢量 $|\psi_{AB}\rangle$ ，则可以得到系统 $A,B$ 的密度矩阵

$\begin{aligned} &\rho_A=tr_B |\psi_{AB}\rangle\langle\psi_{AB}|=\sum_i\langle m_B|\psi_{AB}\rangle\langle\psi_{AB}|m_B\rangle=\sum_i c_{im}c^*_{in}|i_A\rangle\langle j_A|\\ &\rho_B=tr_A |\psi_{AB}\rangle\langle\psi_{AB}|=\sum_i\langle i_A|\psi_{AB}\rangle\langle\psi_{AB}|i_A\rangle=\sum_i c_{im}c^*_{in}|m_B\rangle\langle n_B| \end{aligned}$

2. 经典概率论中的关联

一个约定：对于系统里面仅有两个独立事件A和B，我们习惯性的用两个人观测的结果来代替，这两个人有约定成俗的名字，Alice和Bob。

假定Alice的观测的所有结果（样本空间）为 $\Omega$ ，其中包含 $d_A$ 种可能，即

$\Omega=\{\omega_i,i=0,1,\dots,d_A-1\}$ ;

同理定义Bob的观测的所有结果为 $\Lambda$ ，其中包含 $d_B$ 种可能，即

$\Lambda=\{\lambda_i,i=0,1,\dots,d_B-1\}$ ；

那么整体的样本空间就是 $\Omega 与 \Lambda$ 的积，记为 $\Omega \times \Lambda$ ，包含 $d_Ad_B$ 种可能

$\Omega \times \Lambda=\{(\omega_i,\lambda_m),i=0,1,\dots,d_A-1,m=0,1,\dots,d_B-1\}$

联合概率分布满足

$p_{AB}(\omega_i,\lambda_m)\geq0;$

$\sum^{d_A-1}_{i=0}\sum^{d_B-1}_{m=0}p_{AB}(\omega_i,\lambda_m)=1.$

且满足

$p_A(\omega_i)=\sum^{d_B-1}_{m=0}p_{AB}(\omega_i,\lambda_m)；$

$p_B(\omega_i)=\sum^{d_A-1}_{m=0}p_{AB}(\omega_i,\lambda_m).$

并定义条件概率分布

对于Bob观测到 $\lambda_m$ 的情况，Alice观测到 $\omega_i$ 的概率为

$p_{A|B}(\omega_i,\lambda_m)=\dfrac{p_{AB}(\omega_i,\lambda_m)}{p_B(\lambda_m)}$

对于无关联情况下的联合概率分布，以下几个命题是等价的：

Bob的观测结果与Alice的观测结果无关
Alice的观测结果与Bob的观测结果无关
联合概率分布等于Alice与Bob观测的概率分布的乘积，即

$p_{AB}(\omega_i,\lambda_m)=p_A(\omega_i)p_B(\lambda_m),\forall i,m ;$

Dinfiniton 关联函数

首先定义期望

$E(X)=\sum^{d_A-1}_{i=0}p_A(\omega_i)X(\omega_i)$

以及联合期望

$E(X,Y)=\sum_{y\in Y}\sum_{x\in X}p(x,y)xy$

系统的关联函数定义为

$C(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)$

注：在相变——重整化群理论中，我们也曾经引入关联函数

$g(i,j)=\langle O_iO_j\rangle-\langle O_i\rangle\langle O_j\rangle$

显然的，对于无关联的系统

$C(X,Y)=0$

Definition Shannon’s Entropy

熵是对随机变量的比特量和顺次发生概率相乘再总和的数学期望，即

$H(X,Y)=-\sum_{x\in X}\sum_{y\in Y} p(x,y)\log p(x,y);$

一般常用的概念还有交互信息，

$I(X:Y)=\sum_{y\in Y}\sum_{x\in X}p(x,y)\log\bigg{(}\dfrac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\bigg{)}$

可以看出，其两者具有关系：

$\begin{aligned}I(X:Y) &=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\ &=H(X)-H(X|Y)\\ &=H(Y)-H(Y|X)\\ &=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}$

3.量子纠缠

Definition Schmidt分解

对于两子系统构成系统，其纯态可以表为

$|\psi_{AB}\rangle=\sum_{i=1}^{n_s}\sqrt{\lambda_i}|\varphi_{i_A}\rangle|\phi_{i_B}\rangle$

其中 $\lambda_i>0$ ， $\sum_i\lambda_i=1$ ， $n_s\leq \min(d_A,d_B)$ ，且 $\lambda \varphi_{i_A}|\varphi_{j_A}\rangle=\langle \phi_{j_B}|\psi_{i_B}\rangle=0$ . $n_s$ 称为Schmidt数。

我们可以定义关联投影测量

$P_{i_A,m_B}=|\varphi_{i_A}\rangle\langle\varphi_{i_A}|\otimes |\phi_{m_B}\rangle\langle\phi_{m_B}|$

它能返回一个关联分布

$p_{AB}(i,m)=\langle\psi_{AB}|P_{i_A,m_B}|\psi_{AB}\rangle.$

此时两子系统 $A,B$ 可观测量 $\hat{O}$ 的关联函数定义为

$C(O_A,O_B)=\langle O_A \otimes O_B\rangle-\langle O_A\otimes I_B\rangle\langle I_A\otimes O_B\rangle$

Definition 两系统无关联纯态

一个系统 $|\psi_{AB}\rangle$ 是无关联的，当且仅当

$|\psi_{AB}\rangle=|\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle$
对于任意的可观测量 $O_A,O_B$ ， $C(O_A,O_B)=0$

其中我们将 $|\psi_{AB}\rangle=|\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle$ 称为直积态。

Definition 可分离态

一个系统 $\rho_{AB}$ 是可分离态，当且仅当

$\rho_{AB}=\sum_i p_i|\varphi_{i_A}\rangle\langle\varphi_{i_A}|\otimes|\phi_{i_B}\rangle\langle\phi_{i_B}|$

其他的，都被称为纠缠态。

Theorem CHSH不等式

CHSH不等式是Bell不等式的推广。

考虑两子系统 $A,B$ 构成的系统， $a,c$ 为对系统 $A$ 局部测量的结果，其值可能为 $\pm1$ ， $b,d$ 为对系统 $B$ 局部测量的结果，其值可能为 $\pm1$ 。对于经典随机变量，有

$v(a)v(b)+v(a)v(d)+v(c)v(b)-v(c)v(d)=\pm2$

其中 $v(x)$ 是随机变量的值，是 $\pm1$ 中的一个。CHSH不等式定义为

$|\langle ab\rangle +\langle ad\rangle+ \langle cb\rangle- \langle cd \rangle |\leq 2\sqrt{2}$

对于量子系统，令 $a,b,c,d$ 为Bloch球上一单位矢量，测量其投影有

$\begin{aligned} &|\langle\sigma_A \mathbf{n}_a\sigma_B \mathbf{n}_b\rangle+\langle\sigma_A \mathbf{n}_a\sigma_B \mathbf{n}_d\rangle+\langle\sigma_A \mathbf{n}_c\sigma_B \mathbf{n}_b\rangle-\langle\sigma_A \mathbf{n}_c\sigma_B \mathbf{n}_d\rangle\\ &\leq \sqrt{2(|\mathbf{n}_b+\mathbf{n}_d|^2-|\mathbf{n}_b-\mathbf{n}_d|^2)}\\ &\leq 2\sqrt{2} \end{aligned}$