什么是 f-Sum Rule 以及 Kohn Theorem，以及二者有无关联？

这个问题关键在于如何理解Kohn定理背后的本质。

先回顾最初Kohn发现的现象：在均匀外磁场中的二维电子气体系统是完全可解的，回旋频率 $\omega_c$ 刻画着质心运动；接着绝热地引入各向同性的相互作用后回旋共振谱依然在 $\omega_c$ 处（通过de Haas-van Alphen的振荡周期可观察，也即它基本不被相互作用影响）。

那么这一点从所谓的f求和(积分)规则容易看，因为这个规则其实只是个粒子数密度（线性）响应函数，在其域(domain)上的积分（或求和）计算，其结果正比于总粒子数。而这个响应函数也就是极化函数 $i \Pi^{\mu\nu}=\langle0|T[j^\mu,j^\nu]|0\rangle$ 的00分量（ $j^0(x)=\rho(x)$ ）推迟部分，这个求和规则也就是直接由Ward恒等式体现（如果用场论语言表述，这里是非相对论场，以防万一这里若觉得不清楚的可以参考 [nucl-th/0010033v2] On the f Sum Rule and its Extensions）；单从 $\Pi^{00}(\omega,\boldsymbol{q})\approx-\frac{\rho_0}{m}\frac{\boldsymbol{q}^2}{\omega^2-\omega_c^2+i0^+}$ 也容易直接看到回旋共振为 $\omega_c$ 。Ward恒等式是非微扰的结果，这里本质上便是由 $U(1)$ 规范不变性所导致的（ $j^\mu$ 是相应的Noether守恒流），所以f求和规则只不过是用关联函数的形式再告诉你一次守恒流对全空间积分等于守恒荷而已。

这样一来似乎说Kohn定理就是由量子理论的 $U(1)$ 规范不变性导致的应该足够了，为什么人们说它是系统Galilean不变性的后果？看一下最初Kohn的论文 https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.123.1242，当时他并没有使用响应函数这样的工具，而是从等效经典单质点运动学的图像去考察；放到Hall效应的情形中，外电场提供漂移运动而这部分只和质心运动有关，外磁场导致的回旋运动是由相对运动描述（相对的与质心运动则脱耦），而荷电粒子间的相互作用只依赖于相对径向距离（于是保持Galilean对称性），于是人们当时分析就如同经典的Newton动力学一样，该系统需具有Galilean不变性才能把整体运动作这样的独立分解，粒子在磁场下的运动也就仍然可以映射成谐振子模型从而共振频率保持不变。也就是说过去提及Galilean不变性其实是一种比较经典层面的定性分析，具体的证明操作可以看[1105.4401] Kohn’s theorem and Galilean symmetry（阅读这个文章时你也会发现实际上在量子系统中反映出来的已经根本不是Galilean对称了，正如我下面要讲述的内容）。

然后如何在这里把Galilean不变性和 $U(1)$ 不变性联系起来，我们需要放到同一个层次的理论来比较（而不是强行经典和量子理论进行对比）。在普通的量子力学中，Galilean群作用到波函数上会得到一个额外的相位因子 $U(\boldsymbol{v})\psi(\boldsymbol{r})=e^{i2\pi\omega_1(\boldsymbol{r};\boldsymbol{v})}\psi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}t)$ ， $U(\boldsymbol{v})=e^{-\frac{i}{\hbar}m\boldsymbol{v}\cdot(\frac{\boldsymbol{p}}{m}t-\boldsymbol{r})}$ ；也就是说这是一个投影酉表示（表示空间为Hilbert空间），这意味着在量子水平上Galilean群存在中心扩张表示，这个相角 $2\pi\omega_1(\boldsymbol{r};\boldsymbol{v})=\frac{m}{\hbar}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{v}-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2t)$ 是一个1-上闭链(1-cocycle)，满足上闭链条件 $\omega_1(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{v}_1t;\boldsymbol{v}_2)-\omega_1(\boldsymbol{r};\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)+\omega_1(\boldsymbol{r};\boldsymbol{v}_1)=0$ 。Galilean推进(Galilean boost)生成元与平移生成元(动量算子)的对易关系出现中心项 $[p^i,\widetilde{K}^j]=m\delta^{ij}$ 又称质量反常（其余生成元的对易子不变因为 $H^2(\mathfrak{e}(3),\mathbb{R})={0}$ ，根据Bargmann定理这意味着作为子群的Euclidean群 $E(3)$ 无非平凡中心扩张），于是Galilean群扩张成了Bargmann群。在经典力学系统中，我们也可以选择Bargmann群作为对称群，然后相空间是其余伴随轨道，在这上面的物理表示并没有中心扩张，这也就是经典力学的一个群本身中心扩张而代数的表示的中心项消失的例子（p.s. Jean-Marie Souriau是第一个用轨道方法研究此问题的人，描述于他的书《Structure des systèmes dynamiques》，Ch. III“Décomposition barycentrique”，其意为“质心分解”）。

到了存在外磁场的量子力学系统中，这个中心扩张会体现到平移对称上，我们知道平移群是Galilean群的Abelian子群，在量子力学系统中它有酉表示为 $U(\boldsymbol{a})=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{p}}$ ，但在存在外磁场时，这个表示并不是 $U(1)$ 规范不变的，于是人们定义了规范不变动量 $\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}$ ，平移算符成了 $e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{\pi}}$ ，物理意义上它不再是普通的空间平移而是成了所谓“磁平移”(magnetic translation)，Lie代数中变为 $[\pi^i,\pi^j]=i\hbar\frac{e}{c}\varepsilon_{ijk}B^k$ ，外磁场就是个2-上闭链，为恰当形式 $\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ 。然而这似乎与之前知道的事实Euclidean群无非平凡中心扩张有所矛盾，因此这里完整地看其实是关于Weyl-Heisenberg代数的中心扩张，相应的位置算子的对易子也改变了（详见 Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and Some Applications in Physics by Josi A. de Azcárraga, Josi M. Izquierdo）。值得注意在二维情形中， $E(2)$ 的非平凡中心扩张则存在，平移群由 $U(1)$ 中心扩张成所谓磁平移群（参考The galilean group in 2+1 space-times and its central extension , QUANTUM THEORY OF LANDAU AND PEIERLS ELECTRONS FROM THE CENTRAL EXTENSIONS OF THEIR SYMMETRY GROUPS），扩张后的Galilean群有时也被叫做奇异Galilean群(exotic Galilean group)。

顺便一提当存在磁单极子时候 $\nabla\cdot\boldsymbol{B}\neq 0$ （从Jacobi恒等式的破坏体现），总磁通是个3-上闭链 $\omega_3=-\frac{e}{2\pi\hbar}\int d\boldsymbol{r}\;\nabla\cdot\boldsymbol{B}$ （这些内容来自于 Current Algebra and Anomalies）。

接下来，Galilean推进的生成元在此系统中可表示为 $K^i=t\pi^i-mx^i\int d\boldsymbol{r}\,\rho(\boldsymbol{r})$ , $\rho(\boldsymbol{r})=|\psi(\boldsymbol{r})|^2$ ；采用Lagrangian形式进行推导可直接推广到场论表述 $K^{i\mu}=\int d^dx(t T^{i\mu}-mx^i j^\mu)$ ， $T^{i\mu}$ 为能动张量， $j^\mu$ 为 $U(1)$ Noether守恒流。另外一个比较初等直观的看法是在磁场中的荷电粒子体系里，Galilean推进中的速度是质心漂移速度 $\boldsymbol{v}=-c(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})/|\boldsymbol{B}|^2$ （参考 The Role of Galilean Transformation）。

这些方面和视角说明了所谓Galilean不变性其实就蕴含了 $U(1)$ 规范不变性，它们各自的生成元之间在这里并不是互相线性独立的。所以从这些方面我们已经可以看到 $U(1)$ 对称性和Galilean对称性是怎么在量子理论的表示中联系到一起的。因此总结来说，如果从最初物理上观察到的现象来看Kohn定理的内容更直接为 $U(1)$ 规范不变性的反映，Galilean不变性其实则是稍微间接的反映。

最后扯一点延伸的观点（淡），从这个事例我们可以看到经典流体或者经典场（经典相互作用连续分布电荷体系）是一种交换几何，而量子流体（在这里就是后面人们研究到现在的FQH液体）或者量子场是一种非交换几何；从交换几何上的代数形变(量子化)成非交换几何的代数是很不平凡的事情，这使得我们物理（作为表示论看待）上看到了经典和量子现象的巨大差异。

从这种视角出发看这里的问题的文章可阅读：

“Exotic” fluid in 3+1-dimensions

[1002.4772] Exotic galilean symmetry and non-commutative mechanics

[hep-th/0509038v2] Exotic galilean symmetry, non-commutativity & the Hall effect

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Phantom Ghost

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