为什么统计物理中的刘维尔定理 dρ/dt=0 的物理意义是一个代表点邻域内的代表点数目恒定？

这个问题可以分两步解决，第一步证明相空间体积不变，就是哈密顿方程的相流保持Lebesgue测度，第二步再证明满足Liouville方程的概率测度也成立

首先证明对于任意相空间的Lebesgue可测子集D，相流 $\phi_t$ 都使得 $m(\phi_t(D)) = m(D)$ ，m是Lebesgue测度

即 $\int_D \det \frac{\partial \phi_t(u)}{\partial u} du = \int_D du, ~~~ \forall D \in \mathscr{L}(\mathbb{R}^{2n})$

由哈密顿方程，展开相流 $\phi_t(u) = u + t J\nabla H + O(t^2)$

于是 $\frac{\partial \phi_t(u)}{\partial u} = I + tJ\nabla\nabla H + O(t^2)$

$\begin{split} \det \frac{\partial \phi_t(u)}{\partial u} & = \det (I + t J \nabla \nabla H(u)) + O(t^2)\\ & = 1 + t Tr(J \nabla \nabla H(u)) + O(t^2)\\ & = 1 + t \nabla \cdot J \nabla H(u) + O(t^2)\\ & = 1 + O(t^2) \end{split}$

所以， $\frac{d m(\phi_t D)}{dt} = \int_D \frac{\partial }{\partial t} \det \frac{\partial \phi_t(u)}{\partial u} du = 0$

证明结束，就是说如果顺着相流盯着一块区域看，任何时间这块区域的大小都是相同的

从推导过程来看，最关键的一步就是 $\nabla \cdot J \nabla H = 0$ ，所以，如果微分方程满足 $\frac{d u}{d t} = f(u), ~~~ f: \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^{2n},s.t. \nabla \cdot f = 0$ ，就有这样的相空间体积不变

这里还没有结束，相流不仅保持Lebesgue测度，还保持概率测度

对于如果给相空间的点赋予不同的概率权重的话，就要用到 $\frac{d \rho}{d t} = 0$ ， $\rho(u, t)$ 是概率密度

先证明一下这个结论

考虑 $\forall D \in \mathscr{L}(\mathbb{R}^{2n})$ ， $\frac{d}{dt}\int_D \rho(u,t) du = - \int_{\partial D} \rho(u, t) \dot{u} \cdot \mathbf{n} dS = - \int_D \nabla \cdot (\rho(u,t)\dot{u}) du$ ， $\mathbf{n}$ 是指向外侧的单位法向量，由D的任意性

$\frac{\partial \rho(u, t)}{\partial t} = - \nabla\cdot(\rho(u,t)\dot{u}) = - \dot{u}\cdot\nabla \rho(u,t) = - \mathcal{L}\rho(u,t)$

Liouville算子 $\mathcal{L} = \dot{u}\cdot \nabla = J \nabla H(u) \cdot \nabla = \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i} = \{\cdot, H \}$ ，诱导密度函数的拉回映射，把密度函数写成Liouville算子的形式解

$\rho_t(u) = e^{- t\mathcal{L}}\rho_0(u) = \rho_0\circ\phi_{-t}(u)$

对于概率测度 $\mu_t(\phi_t(D)) = \int_{\phi_t(D)} \rho_t(\phi_t(u)) d\phi_t(u) = \int_D \rho_0(u) du = \mu_0(D)$ ，第二个等号用到了Liouville算子诱导的拉回映射和前面证明的相流保持Lebesgue测度

也就是相流保持密度函数满足 $\frac{d \rho}{d t} = 0$ 的概率测度

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：董玉龙

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