如何理解量子物理或统计物理中几乎无处不在的 exp(-E/kT) ？

统计物理中的 $\exp (-\beta E)$ 主要在正则系综（canonical ensemble）出现，而这系综出现在粒子数恒定及可与外界交换能量的系统，而外界与系综已形成热平衡（thermal equilibrium）状态。

第一，由于已达至热平衡，外界和系统的能量／粒子数是相同的，所以系统的总能量可说已定；第二，统计力学中，所有微态（microstate）的机率都是相同的。基于这两点，可证明 $\exp (-\beta E)$ 是此系综的分佈，具体证明已由 @lee aichi给出。

我们可以用一个电脑模拟实验去理解。假设有N粒子，而由热平衡所定下的总能量为E，假设能量是量子化（quantized）的，而假设 $\epsilon_n=n$ 。那粒子的能量分佈是否 $\exp (-\beta n)$ ？如果这假设成立，
$p(\epsilon_n) = (1-\exp(-\beta)) \exp(-\beta n)$ 。
那每粒子的平均能量为 $\langle \epsilon \rangle = \sum_n \epsilon_n p(\epsilon_n) = \frac{e^{-\beta}}{1-e^{-\beta}}$ 及其涨落（fluctuation）为
$\langle (\Delta \epsilon)^2 \rangle = \sum_n \epsilon_n p(\epsilon_n) = \frac{e^{-\beta}}{(1-e^{-\beta})^2}$
做点代数，可知
$\beta = \log \frac{1+\langle \epsilon \rangle}{\langle \epsilon \rangle}$ …(1)
和
$\langle (\Delta \epsilon)^2 \rangle = \langle \epsilon \rangle (1+\langle \epsilon \rangle)$ …(2)

大家可到canonical_ensemble/sim_mr_canonical.py at master 路 stephenhky/canonical_ensemble 路 GitHub，参第一个函数raw_sim_particle_levels看具体做法。做完模拟后分析数据，可验证(1)（参图一）和(2)（参图二）。

图一

图二

从(1)可知， $\beta$ 跟热平衡能量有关，从热力学可知， $\beta = \frac{1}{k_B T}$ 。

在量子力学中， $\exp\left(-\frac{i H t}{\hbar}\right)$ 是酉矩阵（unitary matrix），描述量子态的随时间演化。由于统计力学和量子力学这一点的相似性，用Wick’s rotation，我们可以往返量子力学和统计力学。这是量子场论和统计场论的联系。由于量子场论的时间通常由0至无穷大，但统计场论的则由0至 $\frac{1}{k_B T}$ ，我们出现了Matsubara frequency，其场论中的和可用简单的複变（complex variable）手法计算出，要注意玻色粒子（bosons）和费米粒子（fermions）是不同的。

但如果我们想知道一个统计系统的时间的演化，我们怎样把 $\exp (-\beta E)$ 和 $\exp\left(-\frac{i H t}{\hbar}\right)$ 放在一起？我们要借助Keldysh formalism。一个开放量子系统（open system）的时间演化，可用influence functional（参Feynman and Hibbs最后一课），当中有向前和向后两个路径的组合。如果是多粒子系统，这路径会沿着虚轴走。可参看以下书籍：

1. Condensed Matter Field Theory: Alexander Altland, Ben D. Simons: 9780521769754: Amazon.com: Books 第11课
2. Quantum Mechanics and Path Integrals: Emended Edition (Dover Books on Physics): Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs, Daniel F. Styer: 9780486477220: Amazon.com: Books 第12课
3. Nonequilibrium Quantum Field Theory (Cambridge Monographs on Mathematical Physics): Esteban A. Calzetta, Bei-Lok B. Hu: 9780521641685: Amazon.com: Books

注：函数raw_sim_particle_levels的实现：

def raw_sim_particle_levels(N, totalE, R=float('inf')):
    """
    Simulate the energy levels for all particles, given
    there are N particles, totalE unit of energies and R
    energy levels.

    Args:
        N (int): Total number of particles.
        totalE (int): Total units of energies.
        R (int or float, optional): Number of energy levels. Defaults to float('inf').

    Returns:
        ndarray: An array (ndarray) of N elements storing the energy levels of all the
        N particles in the simulation.
    """
    partlevels = np.zeros(N)
    for i in range(totalE):
        avail_part = np.where(partlevels<(R-1))[0]
        #idx = np.random.choice(avail_part)
        idx = avail_part[np.random.randint(0, high=len(avail_part))]
        partlevels[idx] += 1
    return partlevels

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：何史提

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