弦理论/M理论构造性的原理是什么？

弦论的Nambu-Goto作用量是类比相对论性点粒子的作用量

$\mathcal{S}=-m\int d\tau(-\dot X^{\mu}\dot X_{\mu})^{1/2}$

（这个作用量是D维时空的度规在在世界线上的诱导度规的行列式的根号的积分）写出的，其形式为

$\mathcal{S}_{NG}=-\frac{1}{2\pi\alpha'}\int_{M}d\tau d\sigma (-\det h_{ab})^{1/2},$

这是D维时空的度规在世界面上的诱导度规的行列式的根号的积分。可以验证，在非相对论极限下这个作用量回到经典的弦的作用量。

不过这两个作用量都是非线性的，我们不会做量子化。一个解决这个问题的办法就是引入额外的没有动力学的场，将这个作用量线性化。比如对于弦的作用量，我们引入世界面上的度规 $\gamma_{ab}$ ，NG作用量就变成了Polyakov作用量

$\mathcal{S}_{P}=-\frac{1}{4\pi\alpha'}\int_{M}d\tau d\sigma (-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X_{\mu}.$

容易验证，对 $\gamma^{ab}$ 做变分，再将得到的运动方程带回到作用量中进行化简，就能得到 $\mathcal{S}_{NG}.$

容易发现， $\mathcal{S}_{P}$ 具有Weyl symmetry, world sheet diffeomorphism invariance以及spacetime Poincare invariance. 其中前两者可以用来将世界面上的度规固定成一种特殊的形式（在路径积分中，这个固定给出Faddev-Popov行列式，由此给出反对易的标量ghost）。但是固定之后，前两者并没有用完，仍有冗余，这个冗余的对称性就是conformal symmetry。

剩下是事情很大一部分就是在使用世界面上的共形对称性。二维的共形对称性是local的，它可以看成一个冗余，像规范对称性一样做BRST量子化；共形对称性在量子水平上不能有反常，不然在量子水平上我们引入的世界面度规将会有dynamics，这个限制给出玻色弦生活的时空维数是26.

我们还可以在作用量里加上旋量场，然后把上面做的事情再重复一遍。这样得到的理论（再加上一些其他方面的要求之后）就是超对称弦论。

共形对称性只是一个主题，其他非常重要的主题还有modular invariance和各种duality。前者在超对称弦论中会对谱给出进一步的限制，后者能给出一些非微扰的效应，比如开弦的T-duality中出现了D-brane，而这个是没法通过计算振幅发现的。D-brane的完整作用量是写不出来的，能写出来的只有低能有效作用量，其描述了D-brane和最轻的几个string的激发态（graviton, anti-symmetric tensor, dilaton, gauge boson）之间的相互作用。

我们还可以研究弯曲的时空背景上的弦论。不过，这个世界面上的作用量写出来也是低能有效作用量，因为其中也只带上了最轻的那几个激发态。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：鸟雀呼晴

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