BCS 超导理论（I）

低温下某些金属或化合物直流电阻消失的现象，称为超导电性。表现出超导电性的物质称作超导体。超导现象发现于1911 年，直到1957年，巴丁、库珀和施里弗认为超导现象是一种宏观量子效应，并对其微观机制作出解释，其理论称为BCS理论。

库珀首先证明了，低温下费米球外一对自旋相反的电子之间只要存在吸引相互作用，便能束缚成对，且两电子组成电子对的能量要比在费米面上单独附加两个自由电子的能量更低，使得原本的费米球改组。而在常规超导体中，这种吸引相互作用则是由电子间交换虚声子产生，其有效相互作用可写为

$\begin{equation}\label{} H_{\text{ep}}=\frac{1}{2}\sum_{q,k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2}V_{k_1,q}C_{k_1+q,\sigma_1}^{\dagger}C_{k_2-q,\sigma_2}^{\dagger}C_{k_2,\sigma_2}C_{k_1,\sigma_1}. \end{equation}$

其中 $k_1(\sigma_1),k_2(\sigma_2),q$ 分别为电子1,2的动量(自旋)和声子的动量。系数 $V$ 可写为

$\begin{equation}\label{} V_{k_1,q}=\left|D_{q}^2\right|\frac{2\hbar\omega_q}{(E_{k_1+q}-E_{k_1})^2-(\hbar\omega)^2}, \end{equation}$

其中 $E_{k}$ 为动量为 $k$ 的粒子的能量，满足条件

$\begin{equation}\label{} \left|E_{k_1+q}-E_{k_1}\right|<\hbar\omega_q\approx\hbar\omega_D. \end{equation}$

在能壳内， $H$ 为吸引作用，而在在能壳外， $H$ 为排斥作用。

电子与电子之间除了交换声子产生的相互作用外，还存在之间库伦相互作用，可以写为屏蔽长度为 $\lambda$ 的屏蔽库伦势的形式，且始终为排斥作用

$\begin{equation}\label{} H_{\text{coul}}=\frac{1}{2}\sum_{q,k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2}\frac{4\pi e^2}{q^2+\lambda^2}C_{k_1+q,\sigma_1}^{\dagger}C_{k_2-q,\sigma_2}^{\dagger}C_{k_2,\sigma_2}C_{k_1,\sigma_1}. \end{equation}$

结合以上两式，可得电子之间的净吸引相互作用为

$\begin{equation}\label{} V_{\text{net}}=V_{k_1,q}+\frac{4\pi e^2}{q^2+\lambda^2}. \end{equation}$

BCS假设此净相互吸引在 $2\hbar\omega_D$ 的能壳内为常数，即 $V_{\text{net}}=-V$ ，( $V>0$ 为正常数)且在 $2\hbar\omega_D$ 的能壳外的排斥相互作用忽略不计。因此，电子与电子间的净相互吸引作用为

$\begin{equation}\label{} H'=-\frac{1}{2}V\sum_{q,k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2}C_{k_1+q,\sigma_1}^{\dagger}C_{k_2-q,\sigma_2}^{\dagger}C_{k_2,\sigma_2}C_{k_1,\sigma_1}. \end{equation}$

上式表示了电子对 $(k_1,\sigma_1; k_2,\sigma_2)$ 散射后变为 $(k_1+q,\sigma_1; k_2-q,\sigma_2)$ ，其中总波矢 $K=k_1+k_2$ 为守恒量，由于 $K=0$ 的散射项远大于 $K\neq0$ 的项，因此上式中只需要考虑 $k_1=-k_2$ 的动量相反的电子项，从而可将其写为

$\begin{equation}\label{} H'=-\frac{1}{2}V\sum_{k,k',\sigma,\sigma'}C_{k',\sigma}^{\dagger}C_{-k',\sigma'}^{\dagger}C_{-k',\sigma'}C_{k,\sigma}. \end{equation}$

其中的 $\sigma$ 与 $\sigma'$ 均有两种状态可取，但是由于泡利不相容原理的存在，使得自旋相同的电子不得占据同一位置空间，从而只保留 $\sigma=-\sigma'$ 的项而略去 $\sigma=\sigma'$ 的项。因此，相互作用项最终表示为

$\begin{equation}\label{} H'=-\frac{1}{2}V\sum_{k,k',\sigma}C_{k',\sigma}^{\dagger}C_{-k',-\sigma}^{\dagger}C_{-k,-\sigma}C_{k,\sigma}. \end{equation}$

电子总的哈密顿量即在上式基础上加上单粒子算符项

$\begin{equation}\label{} \begin{split} H=&\sum_{k,\sigma}E_{k}C_{k,\sigma}^{\dagger}C_{k,\sigma}+H'\\+&\sum_{k}E_{k}\left(C_{k\uparrow}^{\dagger}C_{k\uparrow}+C_{k\downarrow}^{\dagger}C_{k\downarrow}\right)-\\&\frac{V}{2}\left(C_{k',\uparrow}^{\dagger}C_{-k',\downarrow}^{\dagger}C_{-k,\downarrow}C_{k,\uparrow}+C_{k',\downarrow}^{\dagger}C_{-k',\uparrow}^{\dagger}C_{-k,\uparrow}C_{k,\downarrow}\right) \end{split} \end{equation}$

由于存在对称性 $E_{k}=E_{-k}$ ，上式可化简为

$\begin{equation}\label{} H=\sum_{k}E_{k}\left(C_{k\uparrow}^{\dagger}C_{k\uparrow}+C_{-k\downarrow}^{\dagger}C_{-k\downarrow}\right)-V\sum_{k,k'}C_{k',\uparrow}^{\dagger}C_{-k',\downarrow}^{\dagger}C_{-k,\downarrow}C_{k,\uparrow} \end{equation}$

上式即为BCS在假定了电子配对的能隙与配对取向无关，即相当于各项同性的配对(即s波)之后得到的哈密顿量。超导凝聚是由于费米面附近动量相反且自旋也相反的电子之间电子相互吸引而产生的，由于配对电子的动量与自旋总是相反的，可以略去自旋指标，并将能量从费米面算起，得到相对费米能的约化哈密顿量

$\begin{equation}\label{} H=\sum_{k}\varepsilon_{k}\left(C_{k\uparrow}^{\dagger}C_{k\uparrow}+C_{-k\downarrow}^{\dagger}C_{-k\downarrow}\right)-V\sum_{k,k'}C_{k',\uparrow}^{\dagger}C_{-k',\downarrow}^{\dagger}C_{-k,\downarrow}C_{k,\uparrow} \end{equation}$

其中 $\varepsilon_{k}=E_{k}-E_{F}$ ，表示从费米面 $E_F$ 算起的能量。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Olivia

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