陈景润是如何证明「1＋2」的？

谢邀, 但据我所知还没有证到这个程度

陈氏定理:
对于充分大的一个偶数 N，那么总可以找到奇素数 $p', p''$ 或 $p_1, p_2, p_3$ ，使得下列两式至少有一个成立：
$\begin{cases} N=p'+p''\\ N=p_1+p_2p_3 \end{cases}$

这个充分大是多大呢? 2015年的最新研究成果 https://arxiv.org/pdf/1511.03409.pdf 表明是大于 $e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}$ 的偶数时必定成立.

这个界限能不能压缩, 是不是有人验证过了, 我只能说我不知道.

好吧你一定很想知道这个充分大是哪来的.

这是因为陈景润证的本来也是一个解析数论里的结论.

所谓的「1＋2」是其直接推论

数学家研究哥德巴赫猜想的时候发现:

很多时候，偶数表示成两个素数和的方法还不止一种，比如

18=5+13=7+11
64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41

于是数学家研究了一个更难的问题, 怎么数它的分拆个数?

我们可以设偶数 N 的哥德巴赫分拆数 $G_{2}(N)$ 为它能够表示成两个素数相加之和的方法的个数，也就是集合 $\left\{(p_{1},p_{2})\left|p_{1}+p_{2}=N,p_{1}\leqslant p_{2}\right.\right\}$ 中元素的个数：

$G_{2}(N)=\operatorname {Card}\left\{(p_{1},p_{2})\left|p_{1}+p_{2}=N,p_{1}\leqslant p_{2}\right.\right\}$

于是哥德巴赫猜想就等于是说，每个大于等于6的偶数的哥德巴赫分拆数都大于0。

如果能够找到哥德巴赫分拆数的表达式，或者找到它的某个严格大于0的下限，就能够证明哥德巴赫猜想了。

而陈景润退一步选了上面那个分拆, 这样的话第一类解就是哥德巴赫猜想, 第二类解就是所谓的「1＋2」.

$\begin{cases} N=p'+p''\\ N=p_1+p_2p_3 \end{cases}$

然后计算这个东西解的个数的表达式 $P_N(1,2)$

最后(经过几十页计算)估出来:

$P_N(1,2)\geq {\frac {0.66N}{\ln ^{2}(N)}}\prod _{{p>2}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\prod _{{p|N,p>2}}\left({\frac {p-1}{p-2}}\right)$

这个充分大的时候严格大于零, 也就是说原方程总有解.

而一般认为哥德巴赫猜想成立则有

$G_N(2)=P_N(1,1)\sim {\frac {2N}{\ln ^{2}(N)}}\prod _{{p>2}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\prod _{{p|N,p>2}}\left({\frac {p-1}{p-2}}\right)$

可以看到其实差的还是挺远的, $P_N(1,1)$ 你还得去掉第二类「1＋2」型的解啊. 系数估出来还要小, 但是这种方法经过这么多天才数学家的发展已经到了极限.

所以很多数学家才认为不出现新的理论根本搞不定哥德巴赫猜想.

你说为什么非要用解析数论呢, 因为呢

通过各种积分变换能把一个数论问题, 或者说定义在整数上的多项式转化到解析函数上, 这样问题研究起来就非常的容易了.

然后就是构造各种函数比增长, 估计解的个数的增长速度, 然后说明解的个数总是大于零不就是说有解了吗.

但还是有个问题, 举个例子 $1.000001^n - O(n^2)$ 你也知道到后面肯定总大于零, 但是到底什么时候很难说, 在这之前会不会出现特例也没法说.

虽然一般也不会出现反例, 但数学还是讲究严谨的学科

人家说是充分大, 你说任意大, 万一….万一报道出现了偏差, 等于…等于你也有责任吧….

来源：知乎 www.zhihu.com

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