这个铁原子将做什么运动？

做什么运动不如直接来算一下

先用经典理论进行计算

重力势能 $V(x)=mgx$

运动方程为 $\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-g$

假设下落最大高度为 $x_{max}$ ，则初始条件为

$x(0)=x_{max}\ ,\ \frac{d}{dt}x(t)|_{t=0}=0$

解得运动方程为 $x(t)=x_{max}-\frac{gt^2}{2}$

这就是一个简单的周期运动，t=0时高度最大

由于落到地面后回弹，我们取x≥0，这是一个周期运动，周期为 $T=\sqrt{\frac{8x_{max}}{g}}$

但是我们希望能够与量子的计算结果比对，而量子的结果给出的是概率密度，所以我们继续往下走

令 $f(x)$ 为位置函数，则平均值为 $<f(x)>=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x(t))dt=\frac{2}{T}\int^{x_{max}}_0f(x)(\frac{1}{dx/dt})dx$

若P(x)为概率密度，我们也有

$<f(x)>=\int^{x_{max}}_{0}f(x)P(x)dx$

带入x和T，进行比对我们有

$P(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x_{max}(x_{max}-x)}}$

此为经典的概率密度分布。

再用量子理论进行计算

取地面为势能0点，粒子只能在地面上运动，则重力势能为

$V(x)= \left\{ \begin{aligned} \infty& \ \ \ \ x<0\\ mgx&\ \ \ \ x\geq0\\ \end{aligned} \right.$

m为粒子质量，g为重力加速度，x为距离地面高度，这是一个线性势阱

代入薛定谔方程

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi+(mgx-E)\psi=0$

$x\geq0，E=mgx_{max}$ (注意xmax仍然是未知量)

令 $\zeta=x(\frac{2m^2g}{\hbar^2})^{1/3}\ , \ \zeta_{E}=\frac{E}{mg}(\frac{2m^2g}{\hbar^2})^{1/3}=x_{max}(\frac{2m^2g}{\hbar^2})^{1/3}$ ，这是一个无量纲的量

化简得 $\frac{d^2\psi}{d\zeta^2}-(\zeta-\zeta_{E})\psi=0$ ，解为艾里函数

所以波函数为 $\psi_{E}(\zeta)=B_{E} Ai(\zeta-\zeta_{E})$ ， $B_{E}$ 是归一化系数

利用贝塞尔函数解出能级公式为

$E_n=\left(\frac{\hbar^2mg^2}{2}\right)^{1/3}\zeta_n$

其中ζ1=2.338，ζ2=4.088，ζ3=5.521。。。。

当n特别大时

$E_{n}\approx\left(\frac{\hbar^2mg^2}{2}\right)^{1/3}\left(\frac{3\pi}{2}\left(n-\frac{1}{4}\right)\right)^{2/3}$

则量子的概率密度分布为 $P(\zeta)=|\psi_{n}(\zeta)|^2$

结果对比

取自然单位制，用橙色代表经典结果，蓝色代表量子结果

从这个结果可以看出，对于经典理论，粒子不会越过投放高度，概率分布在越过ζE后变成0，而对于量子理论，在ζE后仍然会有一个衰减波。这个就是量子效应的体现之一。

当量子数越来越大时，量子结果越趋向于经典结果，这也就是量子力学中著名的对应原理

在大量子数极限情况下，量子体系的行为将渐近地趋于经典力学体系

实验验证

这个计算已经被实验证实。

Nesvizhevsky等人02年在nature上宣布，把超冷中子束缚在地球的重力场中，首次获得了中子离散能级的直接实验证据。

他们所采取的试验装置如图所示

中子射入装置，速度有水平分量和垂直分量。在反射镜上方装有水平放置的中子吸收装置，该装置到镜面距离x可以调节，于是在反射镜和吸收装置之间形成一道狭缝，后面是中子探测器，用来记录不同高度x时能够通过的中子数。

按照经典理论，无论高度x为多少中子探测器均能探测到中子

而根据量子理论，中子只能处于离散的能级。当mgx小于最低能级时，所有中子均被吸收器吸收而不能通过狭缝。所以此时探测不到中子。当吸收器逐渐升高，高于第一个能级高度时，处于基态的中子能够通过，所以探测器探测到的中子数会突然增加，然后是第二个能级。。。

实验结果证实了量子力学的预言

实线代表经典力学的结果，粗分段线代表量子力学的结果，圆圈代表实验计数，虚横线代表背景噪声。这证实了粒子在重力场中垂直下落时，能量不是连续变化，而是在离散能级之间跳跃。在0-10微米处没有中子能够通过，所以探测器只有背景噪声，在15微米处中子数突然增加，与计算所得最低能级1.41pev相吻合。

进一步讨论

关于粒子具体刚开始从静止下落是什么样，我们可以采用波包的办法。

我们已经知道了本征态和本征值，利用态叠加原理可以构造一个波包，他与经典粒子相对应。文献⑤给出了具体的计算分析。

当t=0 时，波包位于重力势能最大点处，对应于弹跳球从最高点，以零初速度向地面下落，此时波包呈现平滑的形状，如图a所示。当t=0.50T时，波包位于原点附近，这时波包呈现剧烈震荡的形状，这是受到了来自地面的无穷大势能的冲击，如图b所示。当t=T时，此时波包经过一个经典周期，又回到右边，完成一个回路( 对应于弹跳球从地面反弹至最高点) 。此时波包虽然恢复但只是部分恢复，并没有完全恢复，这与经典力学粒子经过一个周期完全恢复初始状态不同，如图c所示。

参考文献：

①曾谨言.量子力学卷Ⅰ[M] . 第 4版.北京: 科学出版社, 2007. 97～100.

②Berberan-Santos M N, Bodunov E N, Pogliani L. Classical and quantum study of the motion of a particle in a gravitational field[J]. Journal of Mathematical Chemistry, 2005, 37(2):101-115.

③Nesvizhevsky V V, Börner H G, Petukhov A K, et al. Quantum states of neutrons in the Earth’s gravitational field.[J]. Nature, 2002, 415(6869):297-9.

④许可. 重力场致量子效应的首次成功观测[J]. 现代物理知识, 2003(1):27-28.

⑤高峰, 曹学成, 李爱凤,等. 重力场中量子弹跳球的Rydberg波包的演化和恢复[J]. 山东科学, 2012, 25(3):45-49.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：胤禛

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