统计力学Ⅱ——3自发对称破缺和Goldstone模式

对于零场， $\vec h = 0$ ，虽然微观哈密顿量具有完全的旋转对称性，但低温相不会。由于n-space中的一个特定方向被选择为 net 磁化强度 $\vec M$ ，它们自发地破坏了对称性，并且在系统中建立相应的长程序。原来的对称性仍然存在于全局，因为如果所有的局域磁化 $\vec m(x)$ 一起旋转，能量没有变化。这种旋转变换从一个有序态到另一个等价的态。如果均匀旋转不消耗能量，那么通过连续性，我们可看到在空间上缓慢变化的旋转将使能量有微小降低。这种低能激发被称为戈德斯通模式。它们存在于破坏连续对称性的任何系统中。当离散对称性被破坏时，没有Goldstone 模式，因为不可能从一个状态到等同的状态产生缓慢变化的旋转。声子是Goldstone 模式的一个例子，对应于晶体结构的平移和旋转对称性的破坏。

超流体背景下 Goldstone 模式的起源和结果，类似于玻色凝聚，超流体相具有单个量子基态的宏观占据。序参量，

$ψ(x)≡ψ_ℜ +iψ_ℑ ≡|ψ(x)|e^{iθ(x)},\$ （1）

是 x 附近的实际波函数的基态分量。波函数的相位不是可观测量，并且不应显示任何物理可测量的概率。例如，有效的粗粒哈密顿量展开可得，

$βH= \int d^d x [\frac{K}{2} |∇ψ|^2 +t/2|ψ|^2 +u|ψ|^4 +··· ].\$ （2）

显然，方程（2）相当于n = 2( $\vec m ≡ (ψ_ℜ,ψ_ℑ)$ )的 Landau.Ginzburg 哈密顿函数。当t <0时，所暗示的超流体转变出现在一个有限的ψ值附近。最小化哈密顿量，将修正ψ的量值，但不改变其相位。现在考虑相位缓慢变化的状态，即 $ψ(x)=\bar ψe^{iθ(x)}.$ 将这种形式插入哈密尔顿函数中会产生能量

$βH= βH_0 +\bar K/2\int d^d x(∇θ)^2,\$ (3)

其中 $K =K\bar ψ^2$ 。利用平移对称性，方程（3）可以分解为独立模式（在体积V内）通过设置 $θ（x）= \sum _q e^{iq·x}θ_q/\sqrt{V}$ ，

$βH=βH_0+ \bar K/2\sum _q |θ（q）|^2.\$ （4）

显然，长波长 Goldstone 模式的能量消耗很少，并且容易受到热波动的激发。假设各参数的幅度均匀，特定构型的可能性由下式给出，

$P [θ(x)]\propto exp[-K/2 \int d^d x(∇θ)^2].\$ （5）

或者，就傅里叶分量而言，

$P [θ(q)]\propto exp[-\bar K/2 \sum_q q^2|θ(q)|^2 \propto \prod_{q}p(θq).\$ （6）

每个模式θq是高斯分布为零的独立随机变量

意思是，

$<θqθq'>=\frac{δq,-q}{ Kq^2}.\$ （7）

注意，实域θ（x）的傅立叶变换是复数 $θ_q=θ_{q,ℜ}+iθ_{q,ℑ}$ 。然而，由于 $θ_q =θ_q^* =θ_{q,ℜ}-iθ_q$ ，的限制，fields 的数量没有翻倍。高斯平移不变权重具有通用形式

$P [{θ_q}]\propto \prod_{q}exp[-K(q)/2θ_qθ_{-q}=\prod _{q>0} exp[-2K（q）/2(θ_{q,ℜ}^2+θ_{q,ℑ}^2)] \$

虽然第一个乘积遍历所有的q，但第二个乘积只限于一半的空间。对于不同的q，显然没有交叉相关性，并且高斯方差是

$<θ_{q,ℜ}^2=θ_{q,ℑ}^2= 1/2K(q).\$

从中我们可以立即构建

$<θ_qθ_{∓q}>=<θ_{q,ℜ}^2>±<θ_{q,ℑ}^2>= (1±1)/2K(q).\$

从式（7）我们可以计算出实空间中相位θ(x)的相关性。显然，由于对称性， $<θ（x）>= 0$

$<θ（x）θ（x'）> =1 /V\sum _{q,q'} e^{iq·x+iq'x'}<θ_qθ_{q'}>\\= 1 /V\sum _{q} \frac{e^{iq(x-x')}}{ \bar Kq^2}.\$ （8）

在连续极限中，可以用积分 $(\sum_ q →V \int d^d q /(2π)^d)$

$<θ(x)θ(x')> =\int\frac{d^dq}{{(2π)}^d} \frac{ e^{iq·(x-x)}}{Kq^2}= - \frac{C_d(x-x')}{K}.\$ （9）

函数

$C_d(x)= - \int\frac{d^dq}{{(2π)}^d} \frac{ e^{iq·x}}{Kq^2}，\$ （10）

它是在d维空间中单位电荷的库伦势

$∇ ^2C_d（x）= \int \frac{d^dq}{(2\pi)^d} e^{iq·x} =δ^d(x).\$ （11）

我们可以很容易地用高斯定理找到一个解，

$\int d^d x∇^2C_d = \oint dS·∇C_d.\$

对于球对称解， $∇C_d=(dC_d / dx)x$ ，以及上式简化为

$1 = S_dx^{d-1}\frac{ dC_d}{dx}.\$ （12）

其中

$S_d=\frac {2π^{d/2}}{ (d / 2-1)！}\$ （13）

是d维中的全立体角（单位球面积）。于是

$\frac{dC_d} {dx}=\frac{1}{S_dx^{d-1}} \Rightarrow \\ C_d(x)=\frac{x^{2-d}}{(2-d)S_d} + c_0，$ （14）

其中c0是一个积分常数。 Cd(x)的长程行为在d = 2时显着变化，如

$\lim_{x→∞}{ C_d(x)}=\left\{\begin{matrix} c_0 \qquad d> 2\\ \frac{x^{2-d}}{(2-d)S_d} \qquad d <2\\ \frac{ln(x)}{2\pi} \qquad d = 2 \end{matrix}\right.\$ （15）

积分常数可以得到为

$<[θ(x)-θ(x')^2>=2<θ(x)^2>-2<θ(x)θ(x')>\$ （16）

它随着x→x’而变为零。因此，

$<[θ(x)-θ(x')^2>=\frac{2(|x-x'|^{2-d}-a^{2-d})}{\bar K(2 -d)S_d} ,\$ （17）

其中a是格子间距的数量级。

对于d> 2，相涨落是有限的，而当d≤2时，它们渐近地变大。由于相位受2π限制，这意味着相中的长程有序被破坏。通过检查相涨落对两点相关函数的影响，该结果更加明显

$< ψ(x)ψ^*(0)> =\bar ψ^2<e^{i[θ(x)-θ(0)] }.\$ （18）

（由于振幅涨落是无意义的，所以我们可以看到横向相关函数）。Weshall 改进了高斯分布变量的收集，

$<exp(αθ)> = exp (α^2/2<θ^2>).\\$

显然可得

$<ψ(x)ψ^*(0)> =\bar ψ^2 exp[ -1/2< [θ(x)-θ(0)] ^2>] =\bar ψ^2 exp[-\frac{x^{2-d}-a^{2-d}}{\bar K(2-d)S_d}]，\\$ （19）

并渐近地

$\lim_{x→∞}<ψ(x)ψ^*(0)> =\left\{\begin{matrix} \bar ψ'^2\qquad 对于d> 2\\ 0 \qquad 当d≤2时\\ \end{matrix}\right.\$

这个参数可以用来约束涨落。以上结果表明，d> 2涨落降低有序度，其在d≤2时有序完全破坏。

以上例子说明了Mermin-Wagner theorem的一般结果。该定理指出，在尺寸d≤2的短程相互作用系统中不存在自发连续对称破缺。这个定理的推论是：

（1）二者的边界维度，即所谓的较低临界维度，必须认真对待。实际上二维超流体存在相变，尽管没有真正的长程序。

（2）当破坏的对称性是离散时（例如n = 1），没有 Goldstone 模式。在这种情况下，长程有序可能降为较低的 dℓ= 1 的临界维度。

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来源：知乎 www.zhihu.com

作者：yang元祐

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