R^2 与 C 的区别在哪里？为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？

很多高中生应该都会有这个疑惑, 复数 $z=a+bi,(a,b)\in \mathbb{R}$ 和一个二元向量 $(a,b)\in \mathbb{R}$ 有什么区别.

这种认知很大程度上是因为高中的题可以用虚部实部分离来解, 而且都满足平行四边形法则, 所以很多人都会误以为这俩都一样, 数学家就是矫情.

那我们来思考一下, 最核心的一点:

为什么复数有除法, 向量没有除法??

我们知道, 除法来源于乘法, 当我们没法从乘法结果唯一的反推出另一个乘数的时候, 我们就说除法不存在.

不能除零, 是因为不能唯一确定乘数.

这种性质叫逆元, $z\cdot z^{-1}=1\Rightarrow1/z=z^{-1}$ , 首先要逆元 $z^{-1}$ 存在才行.

向量是没有定义逆元的, 所以复数显然无法等价于向量

但是有个东西有啊, 矩阵啊, 矩阵的逆学过吧.

好的, 现在明确一点, 复数可以等价于某个矩阵, 而不是向量

那么这个矩阵是谁呢? 考虑复数的第二种形式: $z=\rho e^{i\theta}$

这个公式是说: 一个复数的几何意义可以理解为先装过一个角度, 再拉伸一定的长度.

巧了, 正好对应矩阵的两种变换, 旋转变换和伸缩变换!

$z= \begin{bmatrix} \rho &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta \\ \sin\theta& \cos\theta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a &-b \\ \ b& a \end{bmatrix}$

哦, 我们来验证下, 复数所有的性质都在这上成立!

几何意义不说了, 本来就是从几何意义推导出来的.

复数有共轭, 那矩阵也有转置, 几何意义还是一模一样.

复数满足的平行四边形法则(如果你非要这么叫的话), 其实就是所谓的线性, 矩阵上当然成立.

复数除了零点都能定义除法,这个矩阵也总是存在逆, 所以可除, 除非 $|z|=0$ ,即 $a=b=0$ .

复数可交换可结合, 这个矩阵是个准交换矩阵, 当然也没问题.

复数可以看成一个点…谔谔, 这比较尴尬了, 不过所谓坐标, 其实就是施加于单位向量上的一个线性变换 $z\cdot(1,0)$ , 这样就也等价了.

总之, 复数的一切性质在这个矩阵上都能找到等价形式, 所以复数等价于一个特殊的矩阵!

当然等你上了大学学了复变函数, 这是显然的事:

这一切不过是柯西黎曼方程 $\bar{\partial}f(z,\bar{z})=0$ 的美妙巧合:

一个复函数 $f:\mathbf{C}\to\mathbf{C}$ 是复可微的当且仅当对应的函数 $f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$ 是实可微的并且满足柯西黎曼条件.

单复变函数某点可微等价于对应实函数该点都可微且雅克比矩阵的极限为 $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ .

至于为什么有数学家认为复数用 $a+bi$ 表示不好么….

没听说过.

$a+bi$ 和 $\rho e^{i\theta}$ 都有不同的应用范围, 矩阵么…我还真没见过有人非要这么写的.

留个思考题吧: 复矩阵等价于什么样的实数结构?

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：酱紫君

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