量子力学杂谈——Radon-Nikodym导数

一、密度是什么

我们总是说波函数的模方是概率密度，但概率密度又是什么呢？这还不简单，概率与体积之比随体积趋于0的极限啊

$p(x)=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta P}{\Delta V}$

但这里其实有问题，概率并不是体积的函数，相同体积不同形状的区域的概率不一定是一样的，所以概率不是体积的函数而是集合的函数。我们要表达的是当集合的体积（也就是勒贝格测度）趋于0时，概率与体积之比趋近于一个函数，这个函数只与位置有关。

这不会是一个简单的事情，这个函数的存在性和唯一性都很值得考虑，存在的条件是什么，在什么前提下唯一都是个严重的问题。

这还能推广到各种各样的密度上去，质量密度、电荷密度、能量密度等等，他们都是某个量和体积之比的极限，都存在两个集合函数之比变成位置的函数这个奇怪的事情。

所幸的是，数学上还真有描述这个现象的工具，也就是Radon-Nikodym导数。

二、测度的绝对连续

首先我们要指出这个比值不会一定存在，一个点确定在原点处，没有其他的可能，那么概率密度就变成了 $\delta(x)$ ，这不是一个严格的函数，所以在数学的意义上，概率密度就不存在了，当然这不影响物理上直接拿 $\delta$ 函数继续用。

而Radon-Nikodym导数存在的条件就是分子上的测度对分母上的测度绝对连续，其定义是：设 $\mu,\nu$ 是定义在可测空间 $(X,\Sigma)$ 上的两个正测度，如果对 $\forall\Omega\in\Sigma$ 且 $\nu(\Omega)=0$ 必有 $\mu(\Omega)=0$ 那么称 $\mu$ 相对于 $\nu$ 绝对连续，记作 $\mu\ll\nu$ 。

对于单点概率分布而言， $P(\{0\})=1,V(\{0\})=m(\{0\})=0$ 从而，此概率并不对勒贝格测度绝对连续，从而概率密度当然不存在。

如果对于正测度 $\mu,\nu$ ，如果不相交的可测集 $\Omega_1,\Omega_2$ ，使得任意 $\forall\Omega\in\Sigma$ ，都有 $\mu(\Omega)=\mu(\Omega_1\cap\Omega),\nu(\Omega)=\mu(\Omega_2\cap\Omega)$ 称 $\mu,\nu$ 相互奇异，记作 $\mu\bot\nu$ 。任意两个正测度 $\mu,\nu$ ，存在分解 $\mu=\mu_1+\mu_2$ 使得 $\mu_1\ll\nu,\mu_2\bot\nu$ 称为测度 $\mu$ 的勒贝格分解。

如果两个测度相互绝对连续，即 $\mu\ll\nu\wedge\nu\ll\mu$ ，称它们是等价的，记作 $\mu\approx\nu$ 。

三、Radon-Nikodym导数

Radon-Nikodym定理说的是对于两个正测度 $\mu,\nu$ ，如果 $\mu\ll\nu$ ，那么存在一个 $X$ 上的函数 $f(x)$ 使得 $\forall\Omega\in\Sigma$ 都有

$\mu(\Omega)=\int_\Omega f(x)d\nu(x)$

且这个函数相对于测度 $\nu$ 是几乎处处唯一的。

这里涉及到几乎处处概念，一个测度空间 $(X,\Sigma,\nu)$ 上的命题 $p$ 是几乎处处成立的，是说

$\nu(\{x\in X|\neg p(x)\})=0$ ，比如两个函数几乎处处相等是指 $\nu(\{x\in X|f(x)\neq g(x)\})=0$ 。而定理中说的函数几乎处处唯一，就是说如果

$\mu(\Omega)=\int_\Omega f_1(x)d\nu(x)=\int_\Omega f_2(x)d\nu(x)$ ，那么 $\nu(\{x\in X|f_1(x)\neq f_2(x)\})=0$ 。特别地对于概率测度而言，概率为0的事件不一定是不可能事件（即空集），还可以是其他事件，我们可以称这个事件几乎不可能发生。

我们称这个 $f(x)$ 是 $\mu$ 相对于 $\nu$ 的Radon-Nikodym导数，记作 $f=\frac{d\mu}{d\nu}$ 。

Radon-Nikodym导数被叫做导数，是因为它满足一般导数的链式法则：

$\frac{d\mu}{d\lambda}=\frac{d\mu}{d\nu}\frac{d\nu}{d\lambda}$

我们说Radon-Nikodym导数是几乎处处唯一的，意味着我们可以改变一个零测度集上的函数值。

对于一般的复值测度，我们可以对它做若尔当分解 $\mu=\mu_{r+}-\mu_{r-}+i(\mu_{i+}-\mu_{i-})$ ，而各个若尔当分解为0，可以推出原测度为0（反之不行），所以Radon-Nikodym定理可以推广为复值测度对正测度。

现在我们可以严格地定义密度了，所谓某某密度，就是某个物理量在空间的分布（从而可以看作测度）对于体积即勒贝格测度的Radon-Nikodym导数，概率密度就是 $\frac{dP}{dm}$ ，质量密度就是 $\frac{dM}{dm}$ 。

四、波函数的定义

上一篇文章中我们否决了位置和动量的特征向量 $|x\rangle,|p\rangle$ 因为它们不符合希尔伯特空间的定义：完备的内积空间，它们就没有内积可言，但问题来了，物理书上定义波函数为 $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ ，那么否决了这个位置的特征向量后，位置空间的波函数又怎么定义呢？

我们知道波函数的模方就是概率密度，那么根据谱族和概率的关系，我们又知道

$|\psi(x)|^2=\frac{d\langle\psi,E_X\psi\rangle}{dm}$

但这个只能告诉我们波函数的振幅，而波函数还带有相位，这决定了物质波的干涉，那么

$\psi(x)=\sqrt{\frac{d\langle\psi,E_X\psi\rangle}{dm}}e^{i\delta}$

这后面的相位因子就是我们需要求解的目标，我们知道相位是个相对概念，也就是说我们要找一个作为基准的态，作为零相位，而其他态的相位是与之比较而言的，由此易得：

$\psi(x)=K(x)\frac{d\langle\phi,E_X\psi\rangle}{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}$ 这个 $\phi$ 就是我们事先选作0相位的基准向量， $K(x)$ 为待定比例系数。

然而不是所有的态都能当做基准向量，它应当满足 $\langle\phi,E_X(\Omega)\phi\rangle=0\Leftrightarrow E_X(\Omega)=O$ ，这个可以简单记作 $\langle\phi,E_X\phi\rangle\approx E_X$ 即测度与谱族等价，当然这只是测度之间等价的推广，并不一定有测度等价的性质。这样的基准向量在可分的希尔伯特空间（即可数维）是存在的，但不可分空间则通常不存在，好在量子力学讨论的希尔伯特空间通常是可分的。

用物理一点的话说，选作相位基准的态必须可以在任何理论上可以出现位置都有可能出现，否则理论上讲，粒子可以在A点出现，而我们选了一个在A点的某个领域内出现概率为0的态做基准，那么我们就没法确定波函数在A点的相位了。

通过计算我们可以确定比例系数 $K(x)=\sqrt{\frac{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}{dm}}$ ，从而

$\psi(x)=\frac{d\langle\phi,E_X\psi\rangle}{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}\sqrt{\frac{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}{dm}}$

一般来说波函数与原来的矢量之间不一定是一一对应的，可能有多个矢量对应同一个波函数，这类似于特征值的简并问题，一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量，如果我们只说每个特征值的分量是多少，不一定可以确定一个向量。

同理，我们确定了x方向的波函数，还有y，z方向，确定了所有位置还有自旋，所以这种关系不一定是等距同构，通常只是连续同态，即 $\int_{\mathbb{R^d}}|\psi(x)|^2dm\leq\|\psi\|^2$ 。

还有一个问题，对于位置算子和动量算子，我们可以保证波函数的存在，一般的算子我们说不清楚，它们的谱可能是连续谱，也可能是点谱，显然纯点谱是不能有 $L^2$ 形式的波函数的。

$\langle\phi,E_X\phi\rangle\approx E_X$ 可以保证 $\frac{d\langle\phi,E_X\psi\rangle}{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}$ 的存在，但 $\frac{d\langle\phi,E_X\phi\rangle}{dm}$ 的存在性则很难保证，一个比较物理的例子是氢原子，它在能量小于0的部分是纯粹的点谱，即所谓束缚态，到了能量大于0的部分又变成连续谱，不过好在还对于勒贝格测度绝对连续，于是可以用 $L^2$ 形式的波函数表示。

也就是说氢原子的完整的能量表象，是一个平方和有限的数列和一个平方可积函数的直和，而这差不多也是物理上能见到的最复杂的形式。

而我们还可以臆想一个更复杂的情况，一个算子的谱为康托集，然后它的谱族等价于康托集的豪斯托夫测度，我们把完全的点谱视作0维，完全的绝对连续谱作为1维，那么我们没有理由拒绝一个分形谱，那么这种情况下，我们既不能用平方和有限数列也不能用平方可积函数作为表象了。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：YorkYoung

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