自动控制总结：第三章：线性系统的时域分析

首先我们必须明白时域法是直接在时间域上对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，它可以提供系统时间相应的全部信息。（该方法是最基本的方法，该方法引出的概念、方法、结论都是以后学习复域法、频域法等的基础）

控制系统的性能指标分为动态性能指标和静态性能指标。

在引入典型输入信号的原因是：控制系统的输入信号具有随机性，而如果在这个瞬态上获得系统的解析表达式，难以做到，因此希望有一些特殊的输入信号，通过这些输入信号以及其响应是一个非常不错的选择。

3.1

1、典型的输入信号

① 单位阶跃信号对应的输出：单位阶跃响应

一般形式的阶跃函数：

当A=1时，则为单位阶跃函数

②单位斜坡信号对应的输出：单位斜坡响应

一般形式的斜坡函数

当A=1时则为单位斜坡函数

③单位脉冲信号对应的输出：单位脉冲响应

当A=1时为单位脉冲函数。

④单位加速度信号对应的输出：单位加速度响应

A=½时为单位抛物线函数

⑤正弦信号。

2、控制系统的时域性能指标

（1）响应过程分为动态过程和稳态过程

①动态过程：系统在典型信号的作用下，系统从初始状态到最终状态的过程

表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式（系统要稳定正常工作，其动态过程必须衰减）

动态过程可以提供a、系统的稳定信息、b、响应速度c、阻尼情况

②稳态过程：系统在典型信号的作用下，时间t趋于无穷大的时候输出量的表现形式，

稳态过程提供了稳态误差的信息。

我们一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，所以如果系统在阶跃函数的作用下也能满足性能要求，那么其他情况也应该是令人满意的，因此系统的动态性能指标，均是在单位阶跃函数作用下测定计算的

并且在分析的时候，一般假定系统在阶跃信号作用前处于静止状态，而且系统输出量以及各阶导数均为零

（2）性能指标有以下：（全部都是以阶跃响应下定义）

①延迟时间td：阶跃响应第一次达到终值C(∞)的50%所用的时间。

②上升时间tr：阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间，对有振荡的系统，也可以定义为从0到第一次到达终值所需的时间

③峰值时间tp：阶跃响应越过终值C(∞)到达第一个峰值所需的时间

④调节时间ts：阶跃响应到达并保持在终值C(∞)的±5%误差带内所需的最短时间。

有时候也用终值的±2%误差带来定义

⑤超调量σ%：峰值c（tp）超出终值c（∞）的百分比 即σ%=*100%

3.2一阶系统的时域分析

1、一阶系统的数学模型

例子：

其微分方程为：T $\frac{dc(t)}{dt}$ +c(t)=r(t)

拉氏变换后，传递函数为 Φ(S)= $\frac{C(s)}{R(s)}$ = $\frac{1}{Ts+1}$

(T的含义随系统的不同而不同)

用方框图表示时有两种形式：

形式一：一阶系统

形式二：单位反馈一阶系统

2、一阶系统的单位阶跃响应

r(t)=1(t) 拉氏变换后 R(S)=1/S

因此C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{1}{Ts+1}$ * $\frac{1}{s}$ 对这个式子进行拉氏反变换得：c(t)=1- $e^{-t/T}$ (t≥0)

从c(t)的表达式中可以看到，初始值为0，终值为1

因此画出其响应曲线为

特点：

①当t等于T的整数倍时，即t=T，2T，3T，4T时候，响应的c(t)为总变化量的0.632、0.865、0.95、0.982倍，根据这个特点可以判断是否为一阶系统（这个要背背）

②t=0时候，输出相应的斜率为最大：

$\frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ = $\frac{1}{T}$ $e^{-t/T}$ $|_{t=0}$ = $\frac{1}{T}$

进过计算我们可以得到一阶系统的动态性能指标为：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T

峰值时间tp和超调量σ%不存在，稳态误差ess=0。

记住这个：T值的大小反映系统的惯性。T值越小，惯性就越小，响应速度就快；T值大，惯性就大，相应速度就慢。这一结论也适用于一阶系统以外的系统（因为T越小，对应的ts就越小。）

3、一阶系统的单位脉冲响应

r(t)= δ(t) ，其拉氏变换为R(S)=1

所以C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{1}{Ts+1}$ 其拉氏反变换为 c(t)= $\frac{1}{T}$ $e^{-t/T}$ (t≥0)

其斜率公式 $\frac{dc(t)}{dt}$ =- $\frac{1}{T^{2}}$ $e^{-t/T}$ 所以 $\frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ =- $\frac{1}{T^{2}}$ , $\frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=∞}$ =0 （为什么要求斜率，其实是因为就像高中学数学一样，从斜率可以大概看出它的函数规律）

调节时间按衰减到终值的5%求取 Ts=3T（T越小，响应速度越好）

注：理想脉冲函数无法得到，因此往往以脉宽为b、幅值有限的脉动函数代替理想单的脉动函数δ(t)，而且要求脉宽b＜0.1T。

4、一阶系统的单位斜坡响应

r(t)=t，其拉氏变换 R(S)= $\frac{1}{s^{2}}$ ，

C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{1}{Ts+1}$ * $\frac{1}{s^{2}}$ 其拉氏反变换为c(t)=t-T+T $e^{-t/T}$

其中 t-T为稳态分量：其与斜坡输入函数的斜率相同，但在时间上之后一个T，因此存在位置误差，

T $e^{-t/T}$ 为瞬态分量：随着时间单调衰减

特点：

①系统的输出量和输入量之间的位置误差随时间推移逐渐增大，但最后趋向于T。因此，T越小，位置误差越小。

②在t=0时，初始实线的斜率为0 ( $\frac{dc(t)}{dt}$ $|_{t=0}$ =1- $e^{-t/T}$ |t $|_{t=0}$ =0)

因此初始状态的输出速度（实线斜率）和输入速度（虚线斜率）之间误差最大

5、一阶系统的单位加速度响应

r(t)= $\frac{t^{2}}{2}$ 其拉氏变换为R(S)= $\frac{1}{s^3}$ .

因此C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{1}{Ts+1}$ * $\frac{1}{s^3}$ 其拉氏反变换为c(t)= $\frac{t^{2}}{2}$ -Tt+ $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )

跟踪误差e(t)=r(t)-c(t)= $\frac{t^{2}}{2}$ -[ $\frac{t^{2}}{2}$ -Tt+ $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )]=Tt- $T^{2}$ (1- $e^{-t/T}$ )

当t趋向于∞时，e(t)趋于无穷大，因此得出一阶系统无法跟踪加速度信号

3.3二阶系统的时域分析

用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其应用广泛，甚至许多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统表示。

二阶系统的数学模型

书本上一开始就来了一个RLC电路，推导出一个二阶系统的模型，

其微分方程为 LC $\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}$ +RC $\frac{dc(t)}{dt}$ =+c(t)=r(t)

所以其传递函数为 Φ(S)= $\frac{C(s)}{R(s)}$ = $\frac{1}{LCs^2+RCs+1}$

我们对这个传递函数标准化（标准化后，参数有具体意义），就可以得到

Φ(S)= $\frac{C(s)}{R(s)}$ = $\frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$

其中wn= $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ 称为自然频率，单位rad/s， ζ＝ $\frac{R}{2}$ $\sqrt{\frac{C}{L}}$ 称为二阶系统的阻尼比，无量纲

其开环传递函数为 G(S)= $\frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}$

令闭环传递函数的分母多项式为0，其闭环系统的特征方程 $s^{2}$ +2ζ $w_{n}$ s+ $w_{n}^{2}$ =0

得出其根（闭环极点）为 $S_{1,2}$ =-ζ $w_{n}$ ± $w_{n}$ $\sqrt{ζ^2-1}$

通过分析不同的ζ情况，得出不同的特征根状况

①欠阻尼：0＜ζ＜1 S1,2=-ζ $w_{n}$ ±j $w_{n}$ $\sqrt{1-ζ^2}$

②无阻尼：ζ=0 S1,2=±j $w_{n}$

③临界阻尼：ζ＝1 S1,2=- $w_{n}$

④过阻尼：ζ>1 S1,2=-ζ $w_{n}$ ± $w_{n}$ $\sqrt{ζ^2-1}$

2、二阶系统的单位阶跃响应

r(t)=1 R(S)= $\frac{1}{s}$

（1）欠阻尼（0＜ζ＜1）

S1,2==-ζ $w_{n}$ ±j $w_{n}$ $\sqrt{1-ζ^2}$ =-ζ $w_{n}$ ±j $w_{d}$

（其中令 $w_{d}$ = $w_{n}$ $\sqrt{1-ζ^2}$ ，这条公式一定要记住,wd称为阻尼振荡频率）

所以输出C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$ * $\frac{1}{s}$

= $\frac{1}{s}$ – $\frac{s+2ζw_{n}}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}$ = $\frac{1}{s}$ – $\frac{s+ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}$ – $\frac{ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}$

拉氏反变换为：

c(t)=1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $\frac{ζw_{n}}{w_{d}}$ sin $w_{d}$ t) =1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $\frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)

=1- $\frac{e^{-ζw_{n}t}}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin( $w_{d}$ t+β)

式中β＝arctg $\frac{\sqrt{1-ζ^2}}{ζ}$ （β也等于arccosζ）称为滞后角

（记忆方法：cosβ＝ζ，sinβ＝ $\sqrt{1-ζ^2}$ ）

从c(t)的式子看，发现其由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等于1，表明不存在稳态误差（1-r(t)=0），瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由ζ $w_{n}$ (即特征根实部ζ $w_{n}$ =σ ）决定；

（2）无阻尼（ζ=0）

C(t)=[1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $\frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)] $|_{ζ=0}$ =1- cost $w_{n}$ （把ζ=0带入欠阻尼那条式子即可）（此时wn=wd）

响应曲线：此时为等幅振荡

（3）临界阻尼（ζ=1）

C(t)=[1- $e^{-ζw_{n}t}$ (cos $w_{d}$ t- $\frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin $w_{d}$ t)] $|_{ζ=1}$ =1- $e^{-w_{n}t}(1+w_{n}t)$ （t≥0）（一样的把ζ＝1带入欠阻尼那条式子）（第三项计算的时候要用洛必达就可以得到那个结果了）

响应曲线：单调上升，无振荡，无超调，无稳态误差

（4）过阻尼（ζ＞1）

C(S)= $\frac{w_{n}^2}{s(s+ζw_{n}-w_{n}\sqrt{ζ^2-1})(s+ζw_{n}+w_{n}\sqrt{ζ^2-1}))}$

因此对其作拉氏反变换

c(t)=1- $\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})w_{n}t}$ + $\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ+\sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1})w_{n}t}$

=1+ $\frac{e^{-t/T_{1}}}{T_{2}/T_{1}-1}$ + $\frac{e^{-t/T_{2}}}{T_{1}/T_{2}-1}$ （t≥0）

T1、T2成为过阻尼二阶系统的时间常数，而且T1＞T2

如果ζ>>1时，可以把-1/T2指数项的分量忽略，这样过阻尼的相应类似于一阶系统的相应

响应曲线：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。

（5）负阻尼（ζ＜0）

其有一对共轭复根，且极点实部大于零

响应有两种状态，一种是振荡发散，一种是单调发散

由于系统此时不能正常工作，那么研究也就没有意义了。

小结：阻尼比决定了系统的振荡特性

ζ＜0 时（负阻尼），响应发散，系统不稳定；
ζ=0时（无阻尼），等幅振荡
0＜ζ＜1时（欠阻尼），有振荡，ζ越小，振荡越严重，但响应越快
ζ≥1时（过阻尼和临界阻尼），无振荡，无超调

除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择在0.4~0.8之间，保证系统有好的运动动态。（此时响应曲线超调量合适，调节时间短）

还必须注意，ζ＜0.4时，会使超调量较大，ζ＞0.8时，又会使响应迟缓

（这里判断的时候，紧紧记住那个好多ζ的图就好）

ζ一定时，ωn越大，瞬态分量衰减越快，系统能更快达到稳态值，系统的快速性越好

（这是因为wn在指数部分且带一个负号，所以其越大，衰减越快）

3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析

回忆一下动态指标：tr、 tp 、σp%、ts 。

图中衰减系数σ指闭环极点到虚轴之间的距离，阻尼振荡频率为闭环极点到实轴的距离，自然频率是闭环极点到原坐标之间的距离，与负实轴的余弦是阻尼比，即ζ＝cosβ

（1）上升时间

根据定义，令c(t)=1,得 $\frac{e^{-ζw_{n}t}}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin( $w_{d}$ t+β)=0，因为 $e^{-ζw_{n}t}$ ≠0，所以sin( $w_{d}t_{r}$ +β)=0

解得 $w_{d}t_{r}$ +β=kπ，由于tr的定义是第一次到达的时间，所以取k=1，则得到

上升时间为 $t_{r}$ = $\frac{π－β}{w_{d}}$ = $\frac{π-arccosζ}{w_{n}\sqrt{1-ζ^2}}$

从式中可以看出，当ζ一定时，β不变，系统的相应速度和wn成正比

当阻尼振荡频率wd一定时，ζ越小，上升时间越短

（2）峰值时间

对c(t)求导 $\frac{dc(t)}{dt}|_{t=tp}$ =0

所以得 $\frac{e^{-ζw_{n}tp}}{\sqrt{1-ζ^2}}w_{n}$ sin( $w_{d}$ tp+β-β)=0 因为 $\frac{e^{-ζw_{n}tp}}{\sqrt{1-ζ^2}}w_{n}$ ≠0，所以有sin( $w_{d}$ tp+β-β)=0

所以， $w_{d}$ tp=2kπ，取k=1得

tp= $\frac{π}{w_{d}}$ = $\frac{π}{w_{n}\sqrt{1-ζ^2}}$

式子说明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，ζ一定时，wn越大，tp越小

（3）超调量σ%：

最大超调量发生在峰值时间tp时，把其带入c(tp)，得到c(tp)= 1- $\frac{e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}}{\sqrt{1-ζ^2}}$ sin(π+β)

因为sin(π+β)=- $\sqrt{1-ζ^2}$ （这是因为sinβ= $\sqrt{1-ζ^2}$ ）所以可以写成c(tp)=1+ $e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}$

又由于终值为1，所以得

最大超调量百分比 σ%= $e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}$ = $e^{-πcotβ}$

ζ越大，从而β越小，所以cotβ越大，所以超调量越小，

当ζ在0.4-0.8范围内时，σ%在1.5%~25.4%之间

调整时间ts ：回忆一下，单位阶跃响应进入±△误差带的最小时间

ts= $\frac{3.5}{ζw_{n}}$

小结：

二阶系统的动态性能由 $w_{n}$ 和ζ决定
增加ζ：a、降低振荡（即ts减小），减少超调量 b、系统的快速性能降低，tr、tp增加。
ζ一定，wn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小
超调量仅与ζ有关，而tr、tp、ts与ζ、wn有关

4、二阶系统的性能改善

(1)比例—微分控制

其结构图：Td为微分时间常数，比例因子是1，E(s)为误差信号

开环传递函数：G(S)= $\frac{C(s)}{E(s)}$ = $\frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}(T_{d}s+1)$ = $\frac{K(T_{d}s+1)}{s(\frac{s}{2ζwn}+1)}$ 其中K为 $\frac{w_{n}}{2ζ}$

闭环传递函数： Φ(S)= $\frac{C(s)}{R(s)}$ = $\frac{s+z}{s^2+s(ζ+w_{n}\frac{T_{d}}{2})w_{n}s+w_{n}^2}$ * $\frac{w_{n}^2}{z}$ （令z=1/ $T_{d}$ ）

增加一个闭环零点 -z=-1/ $T_{d}$ 阻尼比增大 $ζ_{d}$ =ζ+ $\frac{T_{d}w_{n}}{2}$ =ζ+ $\frac{w_{n}}{2z}$

特点：

①引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；

②闭环零点的出现，既加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。适当选择微分时间常数Ｔd，使系统既有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，提高快速性。

③不影响系统误差，自然频率不变

单位阶跃信号作用下的输出响应

C(S)= Φ(S)R(S)= $\frac{w_{n}^2}{(s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2)s}$ + $\frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2}*\frac{1}{z}$

其输出相应为 c(t)=1+r $e^{-ζ_{d}w_{n}t}$ sin(wn $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ t＋φ)

r= $\sqrt{z^2-2ζ_{d}w_{n}+w_{n}^2}$ /z $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ ，

φ=-π+arctan[wn $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /(z- $ζ_{d}w_{n}$ )]+arctan( $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /ζd)

部分性能指标：

峰值时间tp：对c(t)求导，令其为0，

得tp= $\frac{β_{d}-φ}{w_{n}\sqrt{ 1-ζ_{d}^2}}$ ，其中βd=arctan( $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ /ζd)

超调量σ%：σ%=r* $\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}$ $e^{-ζ_{d}t_{p}/\sqrt{1-ζ_{d}^2}}$

调节时间ts： $\frac{3+\frac{1}{2}ln(z^2-2ζ^{d}w_{n}+w_{n}^2)-lnz-\frac{1}{2}ln(1-ζ_{d}^2)}{2ζ_{d}w_{n}}$

（2）测速反馈控制

开环传递函数：G(S)= $\frac{w_{n}^2}{s^2+s(2ζw_{n}+k_{t}w_{n}^2)}$ = $\frac{K}{s[s/(2ζw_{n}+K_{t}w_{n}^2)+1]}$

其中K= $\frac{w_{n}}{2ζ+K_{t}w_{n}}$

闭环传递函数：Φ(S)= = $\frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{t}w_{n}s+w_{n}^2}$ 式中阻尼比ζt =ζ+½ $K_{t}w_{n}$

两种控制系统比较如下:

(1)开环增益K，比例—微分控制不改变开环增益K 。

(2)wn不变，阻尼比增大。分别为

ζt=ζ+ $\frac{K_{t}w_{n}}{2}$ ，ζd=ζ+ $\frac{T_{d}w_{n}}{2}$ 当Kt=Td时，两者相等。

（3）比例—微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于测速反馈控制。

（4）比例—微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。

5、附加零点对欠阻尼二阶系统的影响

附加一个闭环零点，超调量上升，上升时间下降，峰值时间下降。

附加零点对过阻尼二阶系统的影响

附加极点对系统的影响

对所有的二阶系统，增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。

3.4线性系统的稳定性分析

1、系统稳定的条件：系统初始条件为0时，受到δ(t)的作用，输出c(t)为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动的作用下，输出信号偏离平衡点的问题，当t→∞时，

若=0——————-系统稳定

若=∞——————系统不稳定

若=A（A为非零常数）—临界稳定

（t≥0）

系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系统的极点全部在s平面左半部。

注：稳定性与零点无关

劳思稳定判据

其特点是要知道系统的闭环传递函数，其线性系统的闭环特征方程为

用例子去说明，

讨论特殊情况一，因为第一列元素会作为分母，当第一列出现0时，要用一未知量代替

特殊情况二，出现全行都是0

3.5 线性系统的稳态误差

1、误差的基本概念

系统的误差通常用两种方法定义：

（1）按输入端定义：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

（2）按输出端定义

E'(S)=R(S)/H(S)-C(S)

按输入端定义的误差E(S)通常在实际系统中可以测量，具有一定的物理意义，但误差理论的含义部十分明显，按系统输出端定义误差是希望输出与实际输出C(s)之差，比较接近误差的理论意义。但通常不可测量

两种误差定义之间的关系是：E'(S)=E(s)/H(s)

2、计算误差的一般方法

最常用的就是终值定理法，该方法适合各种情况下的稳态误差计算，以下说明步骤

①判定系统的稳定性：稳定是系统正常工作的前提条件，否则稳态误差没有意义

②求误差传递函数：Φe= $\frac{E(s)}{R(s)}$ = $\frac{1}{1+G(s)H(s)}$ 公式由来：R(S)-E(S)*G(S)H(S)=E(S)

误差信号e(t)是E(S)的拉氏反变换，其由瞬态分量 ett(t)和稳态分量ess(t)两部分组成

由于系统必须稳定，所以t→∞时，ett(t)＝0，所以稳态误差就是ess(t)

用终值定理求稳态误差：ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}$

终值定理应用条件是sE(s)在右半平面及虚轴上解析，即sE(s)几点全部为s平面左半平面。当系统不稳定或者R(S)的几点由于虚轴上以及虚轴右边时，该条件不满足

这个系统的稳态误差ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}}$

3、系统型别

设开环传递函数G(s)H(s)= $\frac{K\prod_{i=1}^{m}(τ_{i}+1)}{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}$

式中K为开环增益，和为时间常数，v为开环积分环节的数目，称为系统的型别或无差

度。按v的不同，系统分类如下：

V=0，称为0型系统，或有差系统

V=1，称为Ⅰ型系统，或一阶无差系统

V=2，称为Ⅱ型系统，或二阶无差系统

V＞2，除复合控制外，系统难以稳定，在此不做讨论

令=，则当s→0时，有→1

因此G(s)H(s)= $\frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)$

所以Φe= $\frac{E(s)}{R(s)}$ = $\frac{1}{1+\frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)}$ 所以ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $\frac{\lim_{s \rightarrow 0}{s^{v+1}R(s)}}{K+\lim_{s \rightarrow 0}{s^v}}$

4、静态误差系数

①阶跃输入 r(t)=A*1(t)，则R(S)=A/S，A是阶跃函数的幅值。

所以ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s}}$ = $\frac{A}{1+\lim_{s \rightarrow 0}{G(s)H(s)}}$

定义：静态位置误差系数：Kp== $\lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)}$ == $\lim_{s \rightarrow 0}{\frac{K}{s^v}}$

(根据系统型别那部分内容去理解)

因此：

因此，要为0，则用I型以上系统，0型系统在阶跃输入下存在非零的稳态误差

②斜坡输入 r(t)=At，A为斜坡输入函数的斜率

ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s^2}}$ =(因为分母那里1那一部分乘以s之后，s趋向于0时那部分趋向于0，所以有) = $\frac{A}{\lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)}}$

定义：静态速度误差系数： $K_{v}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{\frac{K}{s^{v-1}}}$

因此选Ⅱ型以上系统不存在稳态误差，选用Ⅰ型系统存在有限误差，表明稳态输出时的速度和输入速度相同（因为是相减），0型系统不能跟踪斜坡输入

③加速度输入 r(t)=A $\frac{t^2}{2}$ ，A是加速度输入函数的速度变化率

ess= $\lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}$ = $\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s^3}}$ = (这里也一样把s^2那部分略去)= $\frac{A}{\lim_{s \rightarrow 0}{s^2G(s)H(s)}}$