【CFT02】R^d上的共形群

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上一篇：【CFT01】度规初步

本文主要参考Paul Ginsparg的应用共形场论教材[1]和Plauschinn的共形场论教材[2]。

我们先对上一篇【CFT01】度规初步做一些补充说明。在上一篇中对符号 \mathrm dx 的理解我们仅限于物理上的微元 \Delta x ，现在需要一个数学上的严格定义——这需要引入余切空间的定义。

考虑线性空间 V （和度规 G ），定义其对偶空间（dual space） V^* 为 V 到 \mathbb R 的所有线性泛函，其也是一个线性空间，运算定义为 (f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x) 。我们考虑有限维的情形，对于 V 上有一组基 \{e_1,\cdots, e_n\} ，则定义 V^* 上的一组基 \{ e^1,\cdots, e^n\} 满足：

e^i(e_j):=\delta^i_j\

（线性泛函只取决于基的取值，即 e^i\left(\sum_{j=1}^nc_je_j\right)=c_i ）。另外由于 V 和 V^* 是同构的，我们希望找到 x\in V 与 e^i\in V^* 对应，即 e^i(\cdot)=\langle x,\cdot\rangle ，这里双线性型有定义 \langle x, y\rangle:=x^\top Gy ，其中 G 是度规矩阵。易知考虑基即可，对于 x=\sum_ka_ke_k ，有 \langle\sum_ka_ke_k,e_j\rangle=\sum_ka_ke_k^\top Ge_j=\sum a_k g_{kj} ，又由于 G^{-1}G=1 写成元素形式为 g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j 故

e^i=x=g^{ik}e_k\tag{*}

注意到若度规为单位矩阵，有 e_i 和 e^i 一一对应，我们可以把 e^i 看成行向量 {e_i}^\top 且 e^i(y)=\langle e^i,y\rangle=e_i^\top y ；更一般地对于非单位阵的 G 可以把 e^i 看成 x^\top ，即 e^i(y)=\langle x,y\rangle=x^\top G y 。

若对 V^* 再做对偶我们有 V^{**} ，且我们知道 V 和 V^{**} 有典范同构 \tau ，即 V^{**} 上有一组基 \{\tau(e_j)\} ，其定义为 \tau(e_j): V^{**}\rightarrow \mathbb R, (\tau(e_j))(e^i)=e^i(e_j) 。仿照上述讨论，我们希望将 \tau(e_j) 写成 e^i 的一个线性组合——实际上由于典范同构的存在，我们直接将 \tau(e_j) 视为 e_j ，从而有等式 e_j=g_{ij}e^i 成立（(*)的逆变换）。

考虑流形 M 上每一点 x 有切空间 \mathrm T_xM ，其对偶为余切空间（cotangent space） \mathrm T_x^*(M) ，即 \Phi\in\mathrm T^*_xM 其中 \Phi: \mathrm T_xM\rightarrow\mathbb R 是线性泛函。由上述讨论我们有切空间和余切空间的一个典范同构，具体为定义余切空间上的一组基 \{\Phi^i\} 满足：

\P hi^i(\partial_j):=\delta^i_j\tag{2}

我们把 \Phi^i 记成 \mathrm dx^i ，即 \{\mathrm dx^i\} 为余切空间上的、和切空间上的由欧氏空间诱导出来的基典范同构的一组基。另外，对于所有流形上在 p 有定义的函数 f 组成的空间，我们考虑其等价类，模掉所有在 p 处一阶导相等的函数构成的商空间。对于该空间上的元素 f ，我们用切空间上的元素 \sum_i a_i\partial_i 作用（输入），得到其导数值 \sum_i a_i\frac{\partial}{\partial x^i}f\Big|_x （输出），且此作用是线性的，故这也构成余切空间的一个定义。我们注意到该商空间可以由函数的一阶全微分等价描述，即 \sum_i a_i\mathrm dx^i ，这里 \{\mathrm dx^i\} 也构成一组基，注意到它们的函数形式可以写成 x^j ，则代入(**)得

\mathrm dx^i(\partial_j)=\frac{\partial}{\partial x^j}x^i=\delta^i_j\

这与第一个定义相符。

我们把上述讨论限制在流形上，考虑流形上有度量 G ，则(*)可以写成：

\partial^\alpha=g^{\alpha\beta}\partial_\beta\

等式的左边实际上是 \mathrm dx^\alpha ，这是爱因斯坦求和约定中乘以协变度规上升指标。同理下降指标为逆变换 \partial_\alpha=g_{\alpha\beta}\partial^\beta ，上两式和 g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j 是在张量分析中是十分常用的。

现在把流形限制为 \mathbb R^d ，则每一点的切空间也都是 \mathbb R^d ，切向量也是 \mathbb R^d 上的向量。度规简化为欧几里得空间中的二次型（quadratic form），即一个二元函数 g(u,u)=u^\top Gu ，其中 G 为非退化的对称矩阵。我们考虑两个向量 v 和 w ，则可以定义它们的夹角为

\cos\theta=\frac{v\cdot w}{|v|\,|w|}\

这里内积由度规由二次型定义： v\cdot w=g_{\mu\nu} v^\mu w^\nu ，而长度由对应的线元定义： |v|=\sqrt{g_{\mu\nu} v^\mu v^\nu} 。

在共形场论中，我们现在主要考虑的是 \mathbb R^d 和平直度规 g=\eta （其特征向量为 \pm 1 ），即伪欧几里得空间 \mathbb R^{p,q} （pseudo-Euclidean space）， (p,q) 为度规 g 的符号数，其一个特殊情况 \mathbb R^{3,1} 为闵科夫斯基时空（Minkowski space-time）。由于这里微分流形到欧氏空间的（局部）映射都是 \mathrm{id} ，若 x=(x^\mu) 是流形的一组（全局）基，则切空间的（全局）基可以被表示为 (\partial_{x^\mu}) ，其中 \partial_{x^\mu}(f)\Big|_{x}:=\partial_{x^\mu}f(x) ，即沿 x^\mu 的方向导数，这里我们为了方便起见考虑 \mathbb R^d 上的一组基作为所有邻域坐标系的局部基。

共形（conformal）也称保角，共形变换（conformal map）的一个定义就是一些保持角度不变的空间变换：

【共形变换】 （全局）共形变换是一个可逆变换 \mathbb R^{p,q}\rightarrow \mathbb R^{p,q} （和 x\rightarrow x' ），满足 g_{\mu\nu}(x)\rightarrow g'_{\mu\nu}(x')=\Omega(x)g_{\mu\nu}(x) 。共形变换构成的群叫共形群（conformal group）。

放缩函数 \Omega(x) 可以根据点 x 的变化而变化。我们知道对于坐标变换 x\rightarrow x' 有全微分公式 \mathrm dx'^\mu=\mathrm d(x'^\mu(x^\alpha))=\frac{\partial x'^\mu}{{\partial x^\alpha}}\mathrm dx^\alpha 。那么对于线元素代入上式我们有：

\mathrm ds^2=g_{\alpha\beta}\mathrm dx^\alpha\mathrm dx^\beta=g_{\mu\nu}'\mathrm dx'^\mu\mathrm dx'^\nu=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\mathrm dx^\alpha\mathrm dx^\beta\ 即共形变换满足

g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}=\Omega(x)g_{\alpha\beta}(x)\tag{1}

实际上，这是我们上一篇推过的度规的坐标变换 \left[\frac{\partial (x')}{\partial (x)}\right]^\top G'[x]\left[\frac{\partial (x')}{\partial (x)}\right]=G'[x'] 的元素形式，再代入共形变换得共形变换的矩阵描述：

\left[\frac{\partial (x')}{\partial (x)}\right]^\top G'[x]\left[\frac{\partial (x')}{\partial (x)}\right]=\Omega(x)G[x]\tag{2}

我们现在证明共形变换保持角度不变。下面考虑两条相交的曲线 x_1(t) 和 x_2(t) ，在交点处分别有切向量 v_i^\mu=\frac{\mathrm dx_i^\mu}{dt}, i\in\{1,2\} ，它们经过变换 x\rightarrow x' 之后得到两个新的向量 v_i'^\mu=\frac{\mathrm dx'^\mu(x_i)}{dt}=\frac{\partial x'^\mu(x_i)}{\partial x^\gamma}\frac{\mathrm dx_i^\gamma}{\mathrm dt}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\gamma}v_i^\gamma ，则可求得它们的内积为 v_1'\cdot v_2'= g'_{\mu\nu}v_1'^\mu v_2'^\nu=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}v_1^\alpha\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}v_2^\beta=\Omega(x)g_{\alpha\beta}v_1^\alpha v_2^\beta=\Omega(x)v_1\cdot v_2 ，故角度 v\cdot w/|v|\,|w| 在此变换下保持不变。反之，保角的变换一定是共形变换。我们总可以选择正交规范基 \mathbf e （或 \mathbf e' ）使得度规 G[\mathbf e] （或 G'[\mathbf e'] ）是对角阵，则问题变成了找保角的对角阵——即单位阵的倍数，否则考虑两个正交规范基向量 \mathbf e_1,\mathbf e_2 ，用一个非单位阵的对角阵作用于它们，即将它们拉伸不同的倍数得 a\mathbf e_1 和 b\mathbf e_2 ，则 \frac{a\mathbf e_1\cdot(a\mathbf e_1+b\mathbf e_2)}{|a\mathbf e_1|\,|a\mathbf e_1+b\mathbf e_2|}=\frac{1}{\sqrt{1+(b/a)^2}}\ne \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\mathbf e_1\cdot(\mathbf e_1+\mathbf e_2)}{|\mathbf e_1|\,|\mathbf e_1+\mathbf e_2|} 。据此我们可以很方便地验证共形变换构成群：易知存在单位元与逆元，映射的复合符合结合律，又知两个共形变换的复合仍然保持角度不变，故运算封闭

洛伦兹群（Lorentz group）就是一个特殊的共形群，其定义是闵氏空间上保持原点不变的等距同构，即 \mathrm O(3,1) ；若考虑一般的等距同构，庞加莱群（Poincare group），即洛伦兹群和平移群的一个半直积 \mathbb R^{3,1}\rtimes\mathrm{O}(3,1) ，也是 \mathbb R^{3,1} 上的一个共形群，由于它们都保持了度规不变 G=G' 。

接下来我们考虑一个特殊情况：光滑（至少是一阶可微）的、“相似”于单位变换的共形变换（即单位变换加上一个微扰），写成无穷小坐标变换 x'^\rho=x^\rho+\epsilon^\rho(x)+O(\epsilon^2) ，其中 \epsilon(x)\ll1 。考虑平直度规 g=\eta ，注意到 \epsilon_\mu=\eta_{\mu\nu}\epsilon^\nu ，代入(1)左边得

\begin{align} \eta_{\alpha\beta}\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^{\nu}}&=\eta_{\alpha\beta}\left(\delta^\alpha_\mu+\frac{\partial\epsilon^\alpha}{\partial x^\mu}+\mathrm O(\epsilon^2)\right)\left(\delta_\nu^\beta+\frac{\partial\epsilon^\beta}{\partial x^\nu}+\mathcal O(\epsilon^2)\right)\\ &=\eta_{\mu\nu}+\eta_{\mu\beta}\frac{\partial \epsilon^\beta}{\partial x^\nu}+\eta_{\beta\nu}\frac{\partial \epsilon^\beta}{\partial x^\mu}+\mathcal O(\epsilon^2)\\ &=\eta_{\mu\nu}+\left(\frac{\partial \epsilon_\mu}{\partial x^\nu}+\frac{\partial \epsilon_\nu}{\partial x^\mu}\right)+\mathcal O(\epsilon^2) \end{align}

采用记号 \partial_{\mu}:=\partial/\partial_{x^\mu} ，则(1)化简得 \partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=(\Omega(x)-1)\eta_{\mu\nu} 。对上式两边乘以 \eta^{\mu\nu}

再求迹（即 \sum_{\mu=\nu} ，这个步骤又叫收缩 \mu 和 \nu ）得

\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu)=(\Omega(x)-1)\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\Rightarrow 2(\partial\cdot\epsilon)=(\Omega(x)-1)d\

其中 d=p+q 为伪欧几里得空间的维度。故放缩系数为 \Omega(x)=1+\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)+\mathcal O(\epsilon^2) ，代入原式得

\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\eta_{\mu\nu}\tag{3}

下面我们稍微处理一下上式。对(3)两边用 \partial_\rho 作用并置换标号得

\partial_\rho\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\rho\partial_\nu\epsilon_\mu=\partial_\rho\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\eta_{\mu\nu}\\ \partial_\rho\partial_\nu\epsilon_\mu+\partial_\nu\partial_\mu\epsilon_\rho=\partial_\nu\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\eta_{\mu\rho}\\ \partial_\rho\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\partial_\mu\epsilon_\rho=\partial_\mu\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\eta_{\nu\rho}

下两式相加减去第一式得

2\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho=\frac{2}{d}(-\eta_{\mu\nu}\partial_\rho+\eta_{\rho\mu}\partial_\nu+\eta_{\nu\rho}\partial_\mu)(\partial\cdot\epsilon)\tag{4}

收缩 \mu 和 \nu 得

2\square\epsilon_\rho=(2-d)\partial_\rho\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\tag{5}

其中 \square:=\partial^\mu\partial_\mu 是达朗贝尔算子（d’Alembert operator）。再者，我们对(4)两边用 \partial_\nu 作用得

2\square\partial_\nu\epsilon_\rho=(2-d)\partial_\nu\partial_\rho\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon)\tag{6}

对(3)两边用达朗贝尔算子作用并联立(6)得

(\eta_{\nu\rho}\square+(d-2)\partial_\nu\partial_\rho)(\partial\cdot\epsilon)=0\

最后收缩 \nu 和 \rho 得

(d-1)\square(\partial\cdot\epsilon)=0\tag{8}

我们分析不同的维度 d 。当 d=1 时，所有变换都是平凡的（因为没有角度）。考虑 d\ge 3 ，对(4)用 \partial_\lambda 作用并联立(8)得 \partial_\lambda\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho=0 ，故 \epsilon 是一个关于 x 的、最高为二次的多项式，即可以写出拟设（ansatz）：

\epsilon_\mu=a_\mu+b_{\mu\nu}x^\nu+c_{\mu\nu\rho}x^\nu x^\rho\

下面分情况讨论：

  • \epsilon_\mu=a_\mu 。这时共形变换为一个无穷小的平移（translation）x'^\mu=x^\mu+a^\mu=(1+ia^\rho P_\rho)x^\mu ，其中 P_\rho=-i\partial_\mu 是量子力学中的动量算子（momentum operator）。
  • \epsilon_\mu=b_{\mu\nu}x^\nu 。我们把拟设代入(3)得 b_{\nu\mu}+b_{\mu\nu}=2b^\rho_{\rho}\eta_{\mu\nu}/d ，观察得 b 可以分成对称和反对称两部分即 b_{\mu\nu}=\alpha\eta_{\mu\nu}+m_{\mu\nu} ，其中 \alpha=2b^\rho_\rho/d 和m_{\mu\nu}=-m_{\mu\nu} 。对于对称得部分我们说这是一个扩张（dilatation） x'^\mu=(1+\alpha)x^\mu ，而反对称部分我们说这是一个旋转（rotation） x'^\mu=x^\mu+m_{\mu\nu}x^\nu=(\delta^\mu_\nu+m^\mu_\nu)x^\nu 。若定义生成元 D=-ix^\mu\partial_\mu 和角动量算子（angular momentum operator） L_{\rho\sigma}=i(x_\rho\partial_\sigma-x_\sigma\partial_\rho) 则变换可以写成 x'^\mu=(1+i\alpha D+\frac{i}{2}m_{\rho\sigma}L^{\rho\sigma})x^\mu 。
  • \epsilon_\mu 只有二次项。将拟设代入(4)得 c_{\mu\nu\rho}=\eta_{\mu\rho}h_{\nu}+\eta_{\mu\nu}h_{\rho}-\eta_{\nu\rho}h_\mu 其中 h_\mu=c^\rho_{\,\rho\mu}/d 。容易验证， \epsilon 能够表示为 \epsilon^\rho=2x^\rho(h\cdot x)-h^\rho(x\cdot x) ，故 x'^\mu=x^\mu+2(x\cdot h)x^\mu-(x\cdot x)h^\mu=(1+ih^\rho K_\rho)x^\mu ，对应的生成元为 K_\mu=-i(2x_\mu x^\nu\partial_\mu-(x\cdot x)\partial_\mu) ，我们称这个变换为特殊共形变换（Special Conformal Transformation）。另外注意到这个变换也可以写成 \frac{x'^\mu}{x'\cdot x'}=\frac{x^\mu}{x\cdot x}-h^\mu ，故SCT也可以被看成是先求逆再平移再求逆。

对以上的所有变换求积分我们得到三种有限共形变换：

  • 庞加莱群，此时 \Omega=1 ： x\rightarrow x+a, x\rightarrow \Lambda x, \Lambda\in\mathrm{O}(p,q) ；
  • 扩张，此时 \Omega =\lambda^{-2} ： x\rightarrow \lambda x
  • 和SCT，此时 \Omega = (1+2h\cdot x+h^2x^2)^2 ： x\rightarrow \frac{x+hx^2}{1+2h\cdot x+h^2x^2}

参考文献：

[1]: Ginsparg, Paul. “Applied conformal field theory.”arXiv preprint hep-th/9108028(1988).

[2]: Plauschinn, Erik. “Introduction to conformal field theory: with applications to string theory.” (2009).

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：erachang

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