Radiation Magnetohydrodynamics 辐射磁流体力学（一）：辐射输运方程与辐射磁流体控制方程的建立

一、动机

磁流体，往往是描述等离子体的宏观运动，应用广泛。等离子体的运动，往往具有高速高温高导的性质，所以近三十年来迫切的希望能讲现实中大量存在的热现象，特别是热辐射，加入到磁流体的数值模拟模型中去。

我们知道，热量通过三种方式传递：传导、对流、辐射。那么，当我们面对数值模拟时，三大热量输运会变成怎么样的模型加入原来的模型呢：

热传导：内能的耗散不是最高效的。但是对于各向异性(anisotropic)的相对论情形的实现可以容易。
热对流：在流体方程组中自然包含了进去，但是需要很高的精确度
热辐射：一般由电子、光子及中微子等粒子作为媒介来实现热能的转移，但是这些粒子的行为更像是耗散（diffusion）或者流出（streaming）。往往，这些粒子除了运输能量，还带走了一部分动量。更为严肃的问题是粒子运动的时标远远小于流体的运动。——总而言之，辐射是非常复杂且困难的行为。

二、辐射的建模

下面我们以光辐射为例，即考虑光子的行为：

光子之间不发生碰撞collisionless
光子以光速行进

具体阐述collisionless：光子的性质不是局部的，local的，我们需要考虑全局所以光子的性质，不只是光子在空间中的分布，还有光子方向的分布。

由于，能量是守恒量，所以我们还是从能量出发，辐射的能量和什么有关系？

肯定，第一是与空间位置和方向有关，哪里光子分布密度大，哪里光子照射密集，哪里辐射能高
有空间就有时间，与t有关
其次，是和频率有关，不同频率携带的能量不一样，频率越高，能量越高，定量来说就是 $E = h v = \hbar \omega$ ，所以与频率 $\nu$ 也有关
最后，光子没有电荷、没有（rest）质量，所以都不影响。

我们使用光强intensity来描述辐射的大小，那这个量受什么更加根本的量控制呢：

光的三维空间分布 $\bf r$
三维方向分布 $\bf n$
频率 $\nu$
时间t

强度是能量的微分，这个大家肯定没问题

$d E _ { \nu } = I _ { \nu } ( \mathbf { r } ,{ \mathbf { n } } ,\nu,t ) \cos \theta d \nu d a d \Omega d t$

这里符号，是取光强首字母作为符号，记为 $\mathbf{I}( \mathbf{r},\mathbf{n},\nu,t) ~~[\text{erg}~~\text{s}^{-1}\text{cm}^{-2}\text{Hz}^{-1}\text{sr}^{-1} ]$ ，后面是单位，光强由上面的量决定这件事情说明，光强是一个，六个空间自由度+1个时间自由度的量。

三、辐射输运方程

最简单的模型，在某个时间微元上，光子行为限制在某个固定方向上，光子进行自由的流动，那对于这个方向的光产生的辐射的变化，就受到光子流量的变化的直接影响：

文字来说：

单位时间里，辐射强度的变化——（ $\frac { \partial I _ { \nu } } { \partial t }$ ）等于该方向上，辐射强度流的变化 $- c \mathbf { n } \nabla I _ { \nu }$ ：

$\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + c\textbf{n} \nabla{I_\nu} = 0$

下一步，模型加入新产生的辐射，和被吸收的辐射，所以辐射强度的变化，除了流入流出的净变化，还有新产生和被吸收的，我们写在右端：

$\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + c\textbf{n} \nabla{I_\nu} = c(J_\nu-k_\nu I_\nu)$

右端：新产生的辐射 $J _ { \nu }$ ，吸收系数 $k_\nu$

下面，加入从该方向散射，系数记为 $\sigma_\nu$ 出去的，散射意味着该方向的能量耗散出去了

$\frac { \partial I _ { \nu } } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I _ { \nu } = J _ { \nu } - (k _ { \nu } +\sigma_\nu )I _ { \nu } +\sigma_\nu \bar{I}_\nu$

注意，右边带一横的流量 $\bar{I}_\nu$ ，意思为总的平均的光强，就是旁边方向散射回来的意思。

四、辐射强度矩 Radiation Intensity Moment

我们考虑单位方向向量 $\textbf{n}$ 上的方位角 $\Omega$ 的各级平均，即如下定义1、2、3阶 of 辐射 $I_\nu$

$J_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \text{d}\Omega\\ \mathbf{H}_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \textbf{n} \text{d}\Omega\\ K_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \textbf{n}\textbf{n}\text{d}\Omega$

对于能量、流量、压力在单位方向向量 $\textbf{n}$ 上的方位角 $\Omega$ 的平均，可以由单位方向向量 $\textbf{n}$ 上的方位角 $\Omega$ 的辐射强度 $I_\nu$ 的1，2，3级平均得到

$E_\nu =\frac{1}{c} \int I_\nu \text{d}\Omega\\ \mathbf{F}_\nu =\int I_\nu \textbf{n} \text{d}\Omega\\ P_\nu =\frac{1}{c} \int I_\nu \textbf{n}\textbf{n}\text{d}\Omega$

考虑辐射输运方程： $\frac { \partial I _ { \nu } } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I _ { \nu } = J _ { \nu } - (k _ { \nu } +\sigma_\nu )I _ { \nu } +\sigma_\nu \bar{I}_\nu$

如果假设光源光渊在各个方向角都是相同的，于是乎拆成矩的方差，得到：

$\frac { \partial E _ { \nu } } { \partial t } + \nabla \mathbf{F}_ { \nu } = c(s_\nu - \sigma_\nu E_\nu)\\ \frac { \partial \mathbf{F}_ { \nu } } { c\partial t } + c^2 \nabla P _ { \nu } = -c \sigma_\nu \mathbf{F}_\nu$

五、（频率平均）灰度估计 Gray Approximation

因为前面，我们都是固定频率 $\nu$ 来分析时空与辐射的关系，现在我们来考虑辐射，我们讲辐射平均掉，这样的估计，叫做灰度估计 Gray Approximation，因为你把颜色混合起来就是灰色= =

(这里推导我还没搞懂，希望有人明白的能指点一下)

我们考虑黑体热辐射， $I_\nu = B_\nu$ B就是普朗克公式

$\frac { \partial I } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I = \sigma_\alpha [B(T)-I]\\ \frac { \partial E } { \partial t } + \nabla \mathbf{F} = c(\sigma_\alpha aT^4- \sigma_E E)\\ \frac { \partial \mathbf{F} } { c\partial t } + c^2 \nabla P = -c \sigma_F \mathbf{F}$

这里a=7.5657*10^-15

六、RMHD的控制方程

规定： $\rho$ 密度， u 是速度，p 是热压力， $σ_R$ 是Rosseland平均不透明度， $F_r$ 是辐射通量，E是流体总能量 $E =ρε+ 1/2ρu^2$ （ε是流体自身特定的内能） $σ_P$ 是普朗克不透明度， $B = B(T)$ 是普朗克函数， $E_r$ 是辐射能量， $\mathbb { P } _ { r }$ 是辐射压力。 $σ_RF_r / c$ 对物质产生辐射力，

质量守恒： $\partial _ { t } \rho + \nabla [ \rho u ] \quad = 0$

牛顿第二定律： $\partial _ { t } \rho u + \nabla [ \rho u \otimes u + P I ] = \sigma _ { R } F _ { r } / c$

气体能量守恒： $\partial _ { t } E + \nabla [ u ( E + P ) ] = \sigma _ { R } F _ { r } / c \cdot u - \sigma _ { P } \left( 4\pi B - c E _ { r } \right)$

辐射能量守恒： $\partial _ { t } E _ { r } + \nabla \left[ u E _ { r } \right] = - \nabla \cdot F _ { r } - \mathbb { P } _ { r } : \nabla u + \sigma _ { P } \left( 4\pi B - C E _ { \text{r} } \right)$

辐射流量守恒： $\partial _ { t } F _ { \text{r} } + \nabla \left[ u F _ { r } \right] = - c ^ { 2} \nabla \cdot \mathbb { P } _ { \text{r} } - \left( F _ { \text{r} } \cdot \nabla \right) u - \sigma _ { \text{F} } c F _ { \text{r} }$

（写得粗略了点，我会不断修改的）

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：知乎用户（登录查看详情）

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