心算可以算出羽毛球的落点吗？

前几天老板在群里随手转了一篇文献

我不知怎么就想起了这个老梗【强烈建议一脸懵逼的围观群众先去看问题描述】，于是就有了这个回答

我们首先得向读者普及一下流体力学最重要的概念之一，雷诺数

$Re = \frac{\rho U D}{\eta},$

式子中 $\rho$ 代表流体密度， $\eta$ 代表流体的黏度， $U$ 是我们考虑的物体（这儿是羽毛球）相对流体的速度， $D$ 是它的大小。这个数是无量纲的，通过它的大小可以判定流体流动的性质：是最简单的层流，还是湍流，亦或是其他。

对于击打羽毛球的例子，考虑到世界上最快的球速也只有136 m/s，可以算的雷诺数大约在 $10^4$ 到 $10^5$ 之间，属于典型的湍流区，球受到的阻力可以用下面的式子给出

$F_D= \frac{C_D}{2}\rho SU^2,$

其中 $S$ 是迎风的截面积， $C_D$ 是由球的几何形状、取向等等因素决定的一个无量纲参数，大概在0.6到0.7之间。

来观察一次典型的击球过程后的延迟摄影图像

很明显，击球后，球的朝向发生了180度的旋转，直至与速度方向 $U$ 平行。且此后仍然在这个位置附近作小幅震荡。设朝向和速度方向的夹角为 $\varphi$ ，可以绘制出该夹角随时间的变化关系图

显然这是一条典型的阻尼振荡的曲线。在十余毫秒的时间内羽毛球完成翻转的过程，在约百毫秒的时间后稳定下来。左右两图分别对应不同的击出速度 $U=18.6 m/s$ 和 $U=10.4 m/s$ 。显然击出速度越高，翻转和稳定的速度越快。

有了这个结果，接下来就可以思考内部的物理了。下边的左图给出了一个典型的羽毛球照片

基于日常经验，我们知道羽毛球的质量主要集中于头部，而尾部的羽毛却贡献了大部分表面积。那么，风压作用中心和羽毛球质心显然不会重合，这会对其形成一个净力矩，使羽毛球头部朝向其运动方向转动。

我们可以使用一个简单的双球模型来描述羽毛球的转动，如右图所示：前端的球小而重，提供大部分质量；尾端的球大而轻，承受大部分风压。利用这个模型可以得到运动方程

$\ddot \varphi+\beta \dot\varphi + \omega_0^2 \sin\varphi = 0,$

其中 $\beta,\omega_0$ 依赖于模型的具体参数。值得指明的一点是， $\beta,\omega_0\propto U$ ，读者可以自行思考其原因。恰当选取参数后，这个模型可以很好的描述各种击出速度的羽毛球的翻滚过程。

羽毛球除了会翻滚之外，也会绕着中心轴旋转。如下图所示

各片羽毛并不是平摊成一个正多边形，而是以一个小角度 $\beta\approx 4^\circ$ 相互叠在一起形成一个螺旋形。同风车/电风扇叶片等类似的结构一样，当风相对于羽毛球向后流动时，会带动羽毛球的旋转。简单的受力分析给出，在稳定旋转时转动速度和平动速度之间存在一个简单的关系

$\Omega R \approx U \beta,$

在弧度制下 $\beta\approx 0.07$ ，与实验给出的比例系数0.04数量级上相符

这个自转会对羽毛球的运动产生什么样的影响？最容易想到的自然是滑膛枪和线膛枪子弹运动的区别：子弹高速的自转，会产生进动，并且有助于其稳定朝向

但不幸的是，羽毛球绕对称轴的转动惯量还是太低了，以至于 $\Omega R/U\sim 0.04$ 的转动-平动速度比根本起不到稳定朝向的作用。只有在羽毛球的翻滚运动中才会有一定的贡献。

另一个疑问是，是否会因为旋转，将羽毛向外甩开，造成羽毛球有效截面积的增大？此时我们需要注意到，由于风阻的作用，这些羽毛还会受到一个向内的压力。并且一般而言这个作用力更加强大，从而使得高速运动的羽毛球有略微的收缩

读者容易发现，这两个力都与速度 $U$ 的平方成正比，只是系数有所不同。

通过上面的讨论我们可以得知，羽毛球在被击出之后，其朝向会迅速掉一个个，经过不长的震荡过程后朝向会与速度方向保持一致。受不对称结构的影响，其会有一个与运动速度成正比的自转。将这些细节统统抹去，只考虑羽毛球在空中平稳运动的过程，并认为这些因素仅贡献在阻力因子 $C_D$ 中，我们就可以得到羽毛球的运动方程

$\begin{align} Ma_x &=- \frac{1}{2}C_D\rho S\sqrt{U_x+U_y} U_x,\\ Ma_y &=-Mg- \frac{1}{2}C_D\rho S\sqrt{U_x+U_y} U_y. \end{align}$

定义特征长度 $\mathcal L=2M/\rho SC_D$ ，对于我们的情形 $\mathcal L\approx 4.6\,\text{m}$ 。另外也可以求得球稳态下落的速度 $U_\infty =\sqrt{g\mathcal L}\approx 6.7\,\text{m/s}$ 。

非常幸运的是，这个微分方程有解析解。下图给出了理论计算与实验测量得到的不同抛角和初速度对应的羽毛球轨迹，可以看到两者之间符合得相当的好。

定性上，羽毛球的轨迹在上升段近似为抛物线，而在下降段，水平方向的速度已经基本上衰减为零，呈一个大致竖直下落的形式。总之，我们可以将羽毛球的轨迹大致理解成一个“直角三角形”

但略微有点不幸的是，函数形式过于复杂以至于难以直接使用。我们可以给出以抛角 $\theta_0$ ，初速度 $U_0$ 击出的球，在回到其原本高度时，在水平方向上运动距离的近似公式

$x_0 = \frac{\mathcal L}{2}\cos\theta_0 \ln\left(1+4\frac{U^2_0}{g\mathcal L}\sin\theta_0\right).$

首先容易看出，在 $\mathcal L\rightarrow \infty$ 的极限下，上式退化成寻常高中生就清楚的斜抛运动的情形。但在一般情形下，水平方向上球运动的距离正比于初速度的对数——这意味着击球再快，能打出的距离也不会太远。相反，在初速度很大的时候，击球距离对特征长度 $\mathcal L$ 的依赖却是线性的，相对而言，这就成了一个很敏感的参数了。

特征长度与空气的密度和黏度相关，那么温度的高低自然会影响这个量。注意到从10摄氏度到40摄氏度空气密度的变化能有10%，那运动员从一个地区飞到另一个地区打球，可不单是身体适应了温度变化就够了的。

另一个重要的影响因素是空气湿度。我们可以仔细观察羽毛球羽毛的细节

这样的网状结构是非常容易凝结小水滴的，这意味着空气湿度的增长，会直接造成羽毛球质量的改变！

下表给出了20摄氏度下不同相对湿度时羽毛球质量的测量值。相应的特征长度为参数 $S=28\,\rm{cm}^2,C_D=0.6,\rho=1.2\,\rm{kg}/{m}^3$ 下的计算结果， $x_{\max}$ 为假定出射球速为 $117\,\rm{m/s}$ 的最大水平运动距离。这个结果同样也解释了为何部分选手在打羽毛球之前需要蒸球。

$\begin{array}{|} 相对湿度(\%) & M (g) & \mathcal L(m) & x_{\max}(m) \\ 15 & 5.20 & 5.16 & 14.4 \\ 32 & 5.30 & 5.25 & 14.6 \\ 42 & 5.33 & 5.29 & 14.7 \\ 92 & 5.51 & 5.46 & 15.1 \end{array}$

在前一个部分，我们假定了羽毛球在空中飞行的过程中朝向基本与飞行方向一致。这个假定在多大程度上成立？下图给出了朝向的稳定时间与全段飞行时间之比，随羽毛球水平方向运动距离的关系。其中水平距离被除了一个球场长度 $L_\text{field}=13.4\,\rm{m}$ 的归一化因子。假定羽毛球在2 m的竖直高度上以20度角击出。

可以看出，只要水平距离约大于3 m，稳定时间相对全段飞行时间的比例就迅速下降，我们之前的假定便是对的。这同样也意味着，对于近网球，你不能简单的假定自己在回击时，羽毛球时头对着自己飞过来的。

另外，这个稳定时间的计算是建立在羽毛球被击出的时候不存在初始的翻滚角速度的前提上的——那么削球/搓球无疑会进一步增大翻滚对于羽毛球轨迹的影响。

下图给出了羽毛球阻力因子 $C_D$ 随取向变化的风洞测量结果。这个影响不能说特别大，但如果要精确考虑羽毛球的落点，显然也是不能忽略的。

现在，我们便可以给出结论了。在无风的条件下，对于相对较远的击球，羽毛球的运动是比较简单的，由正比与速度平方的阻力和重力主导。在大致确定羽毛球和温度湿度参数之后，人脑估算羽毛球的落点应当不难做到。

那么，如果有风呢？

我们知道羽毛球运动的后半段大致处在一个重力与空气阻力相平衡的阶段，而空气阻力直接依赖于羽毛球和空气（风）之间的相对速度，再加上风速可不会老老实实保持不变……

本文首发于超理论坛

绝大多数内容来自以下两篇文献

1.Kitta, S., Hasegawa, H., Murakami, M. & Obayashi, S. Aerodynamic properties of a shuttlecock with spin at high Reynolds number. Procedia Engineering 13, 271–277 (2011).

2.Cohen, C., Texier, B. D., Quéré, D. & Clanet, C. The physics of badminton. New Journal of Physics 17, 063001 (2015).

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：梁昊

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