量子力学杂谈——谱族

一、一些打算

主要是想对这些年对量子力学的一些思考做个记录，毕竟现在远离物理已经2年了，纯粹是作为兴趣偶尔还翻翻Peskin之类的，偶尔还翻翻自己以前的笔记，有很多错误和naive的地方，还是想做个总结和回顾吧。

首先不得不感慨隔行如隔山，虽然我自认为对数学是非常感兴趣的人了，但毕竟是业余爱好，连专业数学的边都没摸到。加上自己英语水平太差，当年读书的时候就吃亏在这里，没法子啊，最前沿的东西肯定都是英文的，英语不好学习新知识太困难，就容易停顿在老的地方，即中文书还能hold得住的部分。

我也不指望像以前做笔记那样写得多系统了，主要还是写几点当年帮助我解开很多疑惑的一些量子力学的严格化的数学表述，有能帮到大家的就好。

二、投影算子、正交投影算子

从常规的物理理解，所谓投影是对一个向量做分解，比如分解到3个坐标轴上，也可以分解到一个平面和一条与它相交的直线上。但这种理解过于几何化，不便于做推广，一种新思路是，找到投影的代数特性，推广到高维乃至无穷维的空间。

这个代数特征就是 $P^2=P$ （取projection的首字母），也就是说对投影的结果再做投影结果不变，这个还是比较好理解的。

对于内积空间，投影还有正交投影和斜投影的区别，在通常的几何直观理解下，正交投影要求投影的轴或者平面（推广为子空间）是相互正交的，正交的好处就是，找到一个投影的子空间，那么它有唯一的正交补，对全空间可做正交分解 $V=V_1+V_1^\bot$ 。当然对无穷维空间，事情还要麻烦点，我们需要空间的完备性做保证，也就是说不但得是内积空间，还得是希尔伯特空间。

这个总结起来就希尔伯特空间的正交分解定理，对于希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 及其闭子空间 $V$ ， $\forall x\in \mathscr{H}$ ， $\exists!x_1\in V,x_2\in V^\bot$ 满足 $x=x_1+x_2$ 。

考虑投影算子 $Px=x_1$ ，对于 $\forall y\in \mathscr{H}$ 也有 $y=y_1+y_2=Py+y_2$ ，于是 $\langle y,Px\rangle=\langle y,x_1\rangle=\langle y_1,x_1\rangle=\langle y_1,x\rangle=\langle Py,x\rangle$

从而 $P\subset P^\dagger$ ，而 $P$ 的定义域是全空间，不可能比 $P^\dagger$ 小，必然有 $P=P^\dag$ 。

所以我们可以得出定义：一个定义在内积空间上的线性算子 $P$ ，如果满足

① $P^2=P$ ② $P^\dag=P$ ，就可以称为一个正交投影算子。

正交投影算子的代数特性

1.若 $P_1P_2=P_2P_1$ ，那么 $P_1P_2$ 是正交投影算子;

2.若 $P_1P_2=P_2P_1=O$ （零算子），那么 $P_1+P_2$ 是正交投影算子;

3.若 $\mathscr{R}(P_1)$ （ $P_1$ 的值域） $\subset\mathscr{R}(P_2)$ ，那么 $P_2-P_1$ 是正交投影算子。

此外若 $P\neq O$ ， $\|P\|=1$ 。

考虑 $\mathscr{H}$ 的子空间簇 $\{V_\alpha\}$ 它们两两正交且 $\oplus_{\alpha}V_\alpha=\mathscr{H}$ ，那么所有可以写成它们直和的子空间就就构成了一个布尔代数，这些子空间对应的正交投影算子，也构成一个布尔代数，其中算子乘积为 $\wedge$ ，算子加法为 $\vee$ ，正交补为 $\neg$ ，零算子为 $0$ ，恒等算子为 $1$ 。

三、谱族，取值为正交投影算子的测度

实际上在有限维空间，一个可对角化矩阵 $A$ 总可以写成（矩阵的谱分解）

$A=\sum_{i=1}^na_iE_i$

其中 $a_i$ 是 $A$ 的特征值， $E_i$ 是秩为1的投影矩阵，采用物理上的狄拉克符号就是

$A=\sum_{i=1}^na_i|a_i\rangle\langle a_i|$ ，其中 $|a_i\rangle$ 是 $a_i$ 对应的特征向量，左向量bra视作右向量ket的共轭转置。

在无穷维空间，比较麻烦的是存在连续谱问题，也就是说作为特征值的推广，谱不一定对应着特征向量，于是物理书的做法是引入希尔伯特空间之外的元素 $|x\rangle,|p\rangle$ 满足

$\langle x,y\rangle=\delta(x-y),\langle p,k\rangle=\delta(p-k)$ ，这不是个值得认可的方案，因为广义函数并非真的函数，我们不能认为 $x\neq0\Rightarrow\delta(x)=0$ ，实际上，这个“内积”没有任何意义。

回到矩阵的谱分解，当一个算子只有点谱（即特征值）的时候，谱分解仍可定义为

$A=\sum_{i=1}^{+\infty}a_iE_i$

对于连续谱，我们考虑把这个式子写成积分

$A=\int_{\sigma(A)}adE(a)$

其中 $\sigma(A)$ 是算子 $A$ 的谱集， $E$ 是一个取值为正交投影算子的“测度”，即所谓谱族。

设希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 上的全体正交投影算子是 $\mathscr{P(H)}$ ， $(X,\Sigma)$ 是 $\sigma$ 代数，那么映射 $E:\Sigma\rightarrow\mathscr{P(H)}$ 称为一个谱族，若：

① $E(\varnothing)=O$ ；② $E(X)=I$ （恒等算子）；③设 ${X_i}$ 为可数个两两不相交的可测集合列，那么 $E(\bigcup_{i=1}^{+\infty}X_i)=\sum_{i=1}^{+\infty}E(X_i)$ 。

四、谱分解定理

一般来说谱分解定理有3个程度：1.有界正规算子的谱分解；2.无界自伴算子的谱分解；3.无界正规算子的谱分解，而冯诺依曼证明的是第二个。

首先需要说明一下正规算子，它是指满足 $NN^\dag=N^{\dag}N$ 的算子，我们之前提到的矩阵的谱分解中， $E_i$ 只要求是投影矩阵而不是正交投影矩阵，即不要求是厄米矩阵，如果我们要求它们是正交投影矩阵，就必须要求 $A$ 是正规矩阵，即要求它与自己的厄米共轭对易。

事实上一个矩阵可以酉对角化，即存在酉矩阵（物理上一般叫幺正矩阵，英文都是unitary） $U$ 使得 $UAU^\dag$ 是对角矩阵的充要条件就是 $A$ 是正规矩阵。

对于无界算子也一样，一个稠定闭的正规算子，也存在唯一的谱族 $E_A$ 使得任意 $x,y\in\mathscr{H}$ ，都有：

$\langle y,Ax\rangle=\int_{\sigma(A)}ad\langle y,E_Ax\rangle(a)$

这个可以简单写成：

$A=\int_{\sigma(A)}adE_A(a)$

但需要依照上上式理解，因为我们只定义了对测度的积分，没有直接关于谱族的积分，甚至连复数值测度的积分也要若尔当分解成4个正测度的积分，这完全是因为勒贝格积分是简单函数的积分的上确界造成的，我们无法在非全序空间中直接定义积分。

五、谱族的物理意义

虽然谱族这个东西，物理学家基本没怎么用过，但实际上这个东西的物理意义非常明显，它就是概率的量子化。

对比一下概率，它是一个归一化的测度， $(X,\Sigma)$ 是 $\sigma$ 代数，那么映射 $P:\Sigma\rightarrow [0,1]$ 称为一个概率测度，若：

① $P(\varnothing)=0$ ；② $P(X)=1$ ；③设 ${X_i}$ 为可数个两两不相交的可测集合列，那么 $P(\bigcup_{i=1}^{+\infty}X_i)=\sum_{i=1}^{+\infty}P(X_i)$ 。

除了一个是真正的测度，一个是投影算子值的“测度”，概率和谱族的定义是基本一致的。

实际上考虑一个态 $x\in\mathscr{H}$ 且 $\|x\|=1$ ，那么 $P(\Omega)=\langle x,E(\Omega)x\rangle$ 就是一个概率测度，对于物理量 $A$ 我们假设它可以用自伴算子表述，那么由谱分解定理，我们可以找到一个对应的谱族 $E_A$ ，对于归一化态 $x$ ，概率测度 $P(\Omega)=\langle x,E_A(\Omega)x\rangle$ 就是我们观测一个处于向量 $x$ 描述的系统时，物理量 $A$ 的取值范围在集合 $\Omega$ 中的概率。