实分析Ⅱ|笔记整理（5）——非负可测函数积分

同学们好！

大家是不是看到这个标题感到不太陌生呢？

这一部分内容开始我们开始关注实分析中的积分部分。这一部分和Stein也有部分的重合度，所以按照老办法，我们对于重复的部分只会简单地提一下。

因为ZH在五一期间出现了专栏的bug导致之前的笔记丢失，损失惨重，因此我想了一些补救方案，写在了这篇文章上：

刘理：杂烩|2018.5-近期情况说明，相关typo修改

提供之前的笔记（注意目录顺序……）：

我们开始本节的内容，本节所含原书内容为P131-

非负简单可测函数的积分

从这里开始考虑的原因是简单可测函数逼近定理（原书定理3.9）。

Definition 1:
设 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测简单函数，它在点集 $A_i(i=1,2,...,p)$ 上取值为 $c_i$ ，并且 $f(x)=\sum_{i=1}^{p}c_i\chi _{A_i}(x),\bigcup_{i=1}^{p}A_i=\mathbb{R}^n,A_i \cap A_j = \emptyset(i \ne j)$ 。若 $E \in \mathcal{M}$ ，那么定义 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_{E}f(x)dx=\sum_{i=1}^{p}c_im(E\cap A_i)$ 。

这一块定义和Stein稍显不同。

下面是相关的性质。

Theorem 1:
设 $f(x),g(x)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测简单函数， $f(x)$ 在点集 $A_i(i=1,\cdots,p)$ 上取值为 $a_i$ 。 $g(x)$ 在点集 $B_j$ 上取值为 $b_j$ ， $E \in \mathcal{M}$ ，则
(1)若 $C$ 是非负常数，那么 $\int_E Cf(x)dx=C \int_E f(x)dx$
(2) $\int_E (f(x)+g(x))dx=\int _E f(x)dx+\int _E g(x)dx$

（请注意，这里的 $dx$ 写法不规范，应该是 $\mathrm{d}x$ ，这里为节省时间）

只证明第二个，因为 $f(x)+g(x)$ 在 $A_i \cap B_j$ 上取值 $a_i+b_j$ （当然了， $A_i \cap B_j$ 是空集其实是不影响的），那么有 $\int_E (f(x)+g(x))dx=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}(a_i+b_j)m(E \cap A_i \cap B_j)$ 拆分可得 $\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}(a_i+b_j)m(E \cap A_i \cap B_j)=\sum_{i=1}^{p}a_i\sum_{j=1}^{q}b_jm(E \cap A_i \cap B_j)+\sum_{j=1}^{q}b_j\sum_{i=1}^{p}a_im(E \cap A_i \cap B_j)$ 然后，注意到 $\sum_{j=1}^{q}m(E \cap A_i \cap B_j)=m(E \cap A_i)$ （这是因为 $\bigcup_{i=1}^{p}A_i=\mathbb{R}^n$ 和可数可加性），同理得到 $\sum_{i=1}^{p}m(E \cap A_i \cap B_j)=m(E \cap B_j)$ ，所以化简可得上式即为 $\sum_{i=1}^{p}a_im(E \cap A_i)+\sum_{j=1}^{q}b_jm(E \cap B_j)$ ，这也就是 $\int_E f(x)dx+\int _E g(x)dx$ 。

事实上，还有一个性质就是Stein里所说的“积分的值与表示无关”。这里Stein里说的比较清楚，所以就不再在这里赘述了。

下一个小定理也是之前对我们学过的知识的一个简单应用。

Theorem 2:
若 $\{E_k\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的递增可测集列， $f(x)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测简单函数，则 $\int_E f(x)dx=\lim_{k \to \infty} \int_{E_k}f(x)dx,E = \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$

事实上，只需要走定义，根据 $\lim_{k \to \infty}\int _{E _k}f(x)dx=\lim_{k \to \infty}\sum_{i=1}^{p}c_i m(E_k \cap A_i)=\sum_{i=1}^{p}c_im(E \cap A_i)$ （原书定理2.8）即可得。

非负可测函数的积分

根据简单函数的积分，我们给出非负可测函数积分的定义。

Definition 2:
设 $f(x)$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数，定义 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_E f(x)dx=\sup _{\substack{h(x) \le f(x) \\ x\in E} }\{\int _E h(x)dx:h(x)是\mathbb{R}^n上的非负可测简单函数\}$ ，如果 $\int_E f(x)dx<+\infty$ ，则称 $f(x)$ 在 $E$ 上可积。

一个简单的事实是

$f(x) \le g(x)(x \in E ),f(x),g(x) \ge 0$ ，则 $\int_E f(x)dx \le \int _E g(x)dx$

我们不再证明。

另外，根据这个定义还可以推出两个有趣的性质。

Proposition 1:
(1)若 $f(x)$ 为 $E$ 上的非负可测函数， $A$ 是 $E$ 中可测子集，那么 $\int_A f(x)dx=\int_E f(x)\chi_A(x)dx$
(2)若 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处为0，那么 $\int_E f(x)dx=0$ ，反之亦然。

对于第一个，注意到 $\int_A f(x)dx=\sup_{\substack{h(x) \le f(x) \\ x \in A}}\{\int_A h(x)dx\}=\sup_{\substack{h(x)\chi_A(x)\le f(x)\chi_A(x) \\ x \in E }}\{\int_A h(x)dx\}$ 即可。

对于第二个，一方面，如果在 $E$ 上 $f(x)$ 几乎处处为0，那么设 $Z=\{x \in E : f(x)=0\}$ ，则 $m(Z)=0$ 。这样的话 $\int_Ef(x)dx=\int_Zf(x)dx+\int_{E \setminus Z}f(x)dx$ （Stein里提了这个性质，事实上用这里的定义证明，也不是难事）。一部分函数值是0，一部分是基于零测集上的积分，那么自然容易得到这个积分值就是0。

另一方面，如果 $\int_E f(x)dx=0$ ，考虑构造 $E_k=\{x \in E: f(x) > 1/k\}$ ，那么只需要根据 $\int_E f(x)dx \ge \int _{ E_k}f(x)dx \ge \int_{E_k}\frac1k dx=\frac1k m(E_k)$ 即可得到 $m(E_k)=0(k=1,2,\cdots)$ 。接着根据 $\{x \in E : f(x)>0\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ 即可得到 $m(\{x \in E : f(x)>0\})=0$ 。

下面这个依然是一个小定理，但是结论非常重要，也很直观。

Theorem 3:
若 $f(x)$ 为 $E$ 上的非负可积函数，则 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限。

谈到“几乎处处有限”，想也不用想就是构造 $E_k=\{x \in E : f(x) >k\}$ ，则 $\{x \in E : f(x)=+\infty\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k$ 。结合 $\int_E f(x)dx \ge \int_{E_k} f(x)dx \ge km(E_k)$ 与 $\int_E f(x)dx < +\infty$ 即可得到 $\lim_{k \to \infty} m(E_k)=0$ 。别忘了 $\{E_k\}$ 是递减列，所以自然有 $m(\{x \in E : f(x) =+ \infty\})=0$ 。

接下来这个定理是一个比较重要的大定理，以后我们可能会经常用到它。

Theorem 4:Beppo Levi
设有定义在 $E$ 上的非负可测函数渐升列 $f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots \le f_k(x) \le \cdots$ 且有 $\lim_{ k \to \infty}f_k(x)=f(x), x \in E$ ，那么有 $\lim_{k \to \infty}\int _E f_k(x)dx=\int_E f(x)dx$

首先，由渐升列的定义，容易得到 $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx$ 有定义，积分 $\int_E f(x)dx$ 有定义（有定义是根据 $f(x)$ 非负可测得到的，要注意它和可不可积并不是一个概念）。并且还是根据渐升列可以直接得到 $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \le \int_E f(x)dx$ （某一项是小的，你取极限后自然还是小的）。

下面考虑另外一个方向。因为要证明 $\int_E f(x)dx$ 是小于左边的式子的，所以自然的要考虑非负可测简单函数 $h(x)$ （通过任意一个 $h(x)$ 的估计和积分的定义，自然可以得到 $f(x)$ 的估计）。考虑到渐升列，构造集合 $E_k=\{x \in E : f_k(x) \ge ch(x)\}(k=1,2,\cdots)$ ，其中 $0<c<1$ 任意取定。这样的话 $\{E_k\}$ 递增可测，所以根据Theorem 2可得 $\lim_{k \to \infty}c\int_{E_k}f_k(x)dx = c \int_E h(x)dx$ 。又容易得到 $\int_E f_k(x)dx \ge c\int_{E_k}h(x)dx$ ，两边取极限，令 $c \to 1$ ，可以得到 $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \ge \int_E h(x)dx$ 。最后因为 $h(x)$ 是任意的，所以就可以得到 $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \ge \int_E f(x)dx$ ，就证明了结论。

这个定理相当于说，如果函数是渐升列，那么它的积分和极限可交换。

这个定理的一个最直接的应用是之后的这个性质，因为有可交换性与简单函数逼近定理的保证，会让很多问题变得简单很多。

Theorem 5:
设 $f(x),g(x)$ 为 $E$ 上的非负可测函数， $\alpha,\beta$ 为非负常数，那么 $\int_E(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int _E f(x)dx+\beta \int_E g(x)dx$

事实上根据简单函数逼近定理，结合Theorem 4可以把它转为非负可测简单函数的情况。具体的过程可以查看Stein，这里略去。

当然了，渐降列也是有类似的性质的

Proposition 2:
设 $\{f_k(x)\}$ 为 $E$ 上的非负可积函数渐降列，且 $\lim_{k \to \infty}f_k(x)=f(x), ~ a.e. x \in E$ ，那么 $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx$ 。

简单说明一下，构造 $g_k(x)=f_1(x)-f_k(x)$ ，那么这就变成了一个渐升列，然后根据构造出的渐升列可得 $\lim_{k \to \infty}\int_E(f_1(x)-f_k(x))dx=\int_E(f_1(x)-f(x))dx$ 。另一方面，根据积分的线性性质，再取极限，可得 $\lim_{k \to \infty}(\int_E f_1(x)dx-\int_E f_k(x)dx)=\int_E(f_1(x)-f(x))dx=\int_E f_1(x)dx - \int_E f(x)dx$ 。这样的话，把左边取极限的部分拆开，消去有限项（可积）即可得结论（别忘了 $f_1(x)$ 在取极限的时候是不受影响的）。

之后要说的逐项积分定理，其证明将运用Beppo Levi定理，而它本身也很重要。

Theorem 6:
若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上非负可测函数列，那么 $\int_E \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_Ef_k(x)dx$

令 $S_m(x)=\sum_{k=1}^{m}f_k(x)$ ，那么就构造出了一个渐升列，并且 $\lim_{m \to \infty}S_m(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)=S(x)$ 。这样的话，注意到左边就相当于 $\int_E S(x)dx$ ，所以只要证明右边是 $\lim_{m \to \infty}\int \sum_{k=1}^{m}f_k(x)dx$ 即可。而右边化一下极限可得 $\sum_{k=1}^{\infty}\int_Ef_k(x)dx=\lim_{m \to \infty}\sum_{k=1}^{m}\int_E f_k(x)dx$ 。之后只要根据积分的线性性质即可得到结论。

一个简单的推论如下：

Corollary 1:
设 $E_k \in \mathcal{M}(k=1,2,\cdots)$ ， $E_i \cap E_j=\emptyset(i \ne j)$ ，若 $f(x)$ 为 $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ 上的非负可测函数，则 $\int_Ef(x)dx=\int_{\cup_{k=1}^{\infty}E_k}f(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_k}f(x)dx$

根据 $\int_{E_k}f(x)dx=\int_Ef(x)\chi_{E_k}(x)dx$ 和逐项积分定理即可得到结论，这里略去详细的证明。

这个推论主要的来源于测度的可数可加性，不过因为积分的存在，所以很多时候在测度的环境下也可以使用积分来估计。

下面一个例子说明了积分在测度的应用。

Example 1:
若 $E_1,E_2,\cdots, E_n$ 为 $[0,1]$ 中的可测集，且 $[0,1]$ 中每一点至少属于上述集合中的 $k$ 个，那么 $E_1,\cdots,E_n$ 中至少有一个点集的测度大于等于 $k/n$ 。

只需要注意 $\sum_{i=1}^{n}m(E_i)=\sum_{i=1}^{n}\int_{[0,1]}\chi_{E_i}(x)dx=\int_{[0,1]}\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x)dx$ ，且根据 $\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x) \ge k$ 可得到 $\int_{[0,1]}\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x)dx \ge k$ 。所以如果任何一个点集测度小于 $k/n$ ，就可以得到 $\sum_{i=1}^{n}m(E_i) < \frac k n*n =k$ ，这就矛盾了。所以原定理自然是成立的。

下面引入Fatou引理。

Theorem 7: Fatou
若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可测函数列，那么 $\int_E \underline{\lim}\limits_{k \to \infty}f_k(x)dx \le \underline{\lim}\limits_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx$

根据下极限的定义，考虑设 $g_k(x)=\inf \{f_j(x):j \ge k\}$ ，那么容易得到 $g_k(x) \le g_{k+1}(x)(k=1,2,\cdots)$ ，并且有 $\underline{\lim}\limits_{k \to \infty} f_k(x)=\lim_{k \to \infty}g_k(x), x\in E$ 。所以通过这种方式相当于构造了一个渐升列，根据相关定理可得 $\int_E \underline{\lim} \limits _{k \to \infty} f_k(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_E g_k(x)dx= \underline{\lim} \limits _{k \to \infty}\int_E g_k(x)dx \le \underline{\lim} \limits _{k \to \infty} \int _E f_k(x)dx$ （中间步骤是因为，极限存在那么下极限和极限相等），这就证明了结论。

书上给了一个函数 $f_n(x)=\begin{cases}0 & x =0 \\ n & 0<x<\frac1n \\ 0 & \frac1n \le x \le 1\end{cases}$ ，这个函数运用Fatou引理的话，其不等号是成立的。

最后是一个定理，引入了另外一种可积的充要条件，书上以它结束了这一节，我也打算这么做。

Theorem 8:
设 $f(x)$ 为 $E$ 上的几乎处处有限的非负可测函数， $m(E)<+\infty$ 。在 $[0,+\infty)$ 上作如下划分 $0=y_0<y_1<\cdots<y_k<y_{k+1}<\cdots \to \infty$ ，其中 $y_{k+1}-y_k<\delta(k=0,1,\cdots)$ ，若令 $E_k=\{x \in E : y_k \le f(x) < y_{k+1}\}(k=0,1,\cdots)$ ，则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积当且仅当 $\sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k)<+\infty$ ，并且有 $\lim_{\delta \to 0}\sum_{k \to 0}^{\infty}y_km(E_k)=\int_E f(x)dx$

事实上，注意到 $y_km(E_k) \le \int_{E_k}f(x)dx \le y_{k+1}m(E_k)$ 就容易得到 $\sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k) \le \int_E f(x)dx \le \sum_{k=0}^{\infty}y_{k+1}m(E_k) \le \delta m(E)+\sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k)$ 。所以自然就可以得到结论成立（夹逼）

这个结论可以与Riemann积分相类比一下。Riemann积分是分割定义域来进行极限求和，而这里这个等价条件相当于是对值域进行相同的操作。

比方说，取 $E_k=\{x \in E : k \le f(x) < k+1\} (k=1,2,\cdots)$ ，那么 $f(x)$ 的可积性就等价于 $\sum_{k=1}^{\infty}km(E_k)<+\infty$ 。运用这个小结论，可以来解下面这个例子。

Example 2:
设 $E \subset \mathbb{R}:m(E)<+\infty$ , $f(x)$ 为 $E$ 上非负实值可测函数，那么 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可积的充要条件是 $\sum_{n=0}^{\infty}m(\{x \in E : f(x) \ge n\})<+\infty$

一方面，如果 $f(x)$ 可积，那么 $\sum_{n=0}^{\infty}m(\{x \in E : f(x) \ge n\})=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}m(\{x \in E : k \le f(x) <k+1\})$ $\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)m(\{x \in E : k \le f(x) < k+1\}) < + \infty$ （第二步其实将求和号变一下即可，但要注意变换上下标为 $\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}$ 。之后再用上面的结论）

另一方面，则只需要注意到 $\int_E f(x)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{\{x \in E : k \le f(x) <k+1\}}f(x)dx \le \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)m(\{x \in E : k \le f(x) < k+1\}) < +\infty$ 即可知道结论成立（因为我偷懒省了最后一步……）

小结

这一节各位可能会想做一些吐槽，因为可能会感觉这一部分的内容没有什么太大的新意，也鲜有创新。不过确实我自己在看的时候发觉确实没有太多需要解释的部分，书上这一块写的很详细也很清楚。这当然对于所有人来说都是一件好事。

这一部分内容和Stein的观点和符号标记都稍有差别，因此我基本上没有省略掉原书的内容。这虽然一定程度上使笔记的内容多了不少，但是读者通过对比两本书的观点差异，其实还是可以发现很多有趣的东西的。

下一节我们会跟着原书的内容，继续介绍《实变函数论》中所涉及的一般函数积分的相关理论。

感谢大家一直以来的支持，为点赞收藏感谢赞赏的看客比心~~

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来源：知乎 www.zhihu.com

作者：刘理

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