Ricci流解的长时间存在性，有限时间奇点的分析

这篇文章是 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci 的第四部分。这篇文章主要介绍两部分内容：一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果，二、Ricci流有限时间奇点的分析。

这篇文章主要参考了 [1] 和 [3]。

一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果

【定理1】设 $g(t), t\in [0,T)$ 为 $n$ 维闭流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $T$ 为解的最大存在时间。如果 $T<+\infty$ ，则 $\limsup_{t\to T} ({\max_{x\in M} |Rm(x,t)|})=+\infty$ 。

【注1】1. 这个结果是一个一般性的结果，对于 $n$ 维流形都成立。

2. 由定理1我们可以知道，若存在与时间无关的常数 $C>0$ ，使得 $|Rm|\leq C,\forall t\in[0,T)$ ，则 $T=+\infty$ 。因此，如果曲率张量的模有一个一致的控制，那么Ricci流的解是长时间存在的，这是长时间存在性的一个判定方法。

【证明】记 $M(t)=\max_{x\in M}{|Rm(x,t)}|$ ，我们用反证法，即假设 $T<+\infty$ 且 $\limsup_{t\to T}M(t)<+\infty$ 。此时，存在与时间无关的常数 $C>0$ ，使得 $M(t)\leq C, \forall t\in [0,T)$ ，因此 $|Rm|\leq C, \forall t\in[0,T)$ 。

第一步，证明当 $t\to T$ 时， $g(t)$ 一致收敛于一个连续的、对称正定的二阶协变张量 $g(T)$ ：首先我们指出一个一般的不等式 $|Ric|^2\leq n|Rm|^2$ ，这可以在任意一点处的一个正交标架下计算（实际上这就是trace不等式）： $|Ric|^2=\sum_{i,j}R_{ij}^2=\sum_{i,j}(\sum_kR_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j}\sum_k(R_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j,k,l}(R_{ijk}^l)^2=n|Rm|^2$ 。因此，由 $|Rm|\leq C$ 可得 $|\partial_tg|=2|Ric|\leq C_1$ ，其中 $C_1>0$ 是不依赖于时间的常数。

对于任意的 $v\in T_xM,x\in M$ ，令 $|v|_t=\sqrt{g(x,t)(v,v)}$ ，于是 $\frac{d}{dt}|v|_t^2=(\partial_tg(x,t))(v,v)$ ，且 $|\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|=\frac{(\partial_tg(x,t))(v,v)}{|v|_t^2}\leq |\partial_tg(x,t)|\leq C_1$ 。所以对于任意 $0\leq\tau<\theta<T$ ， $|\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq\int_\tau^\theta|\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|dt\leq C_1(\theta-\tau)$ 。由这个不等式可得到两个估计： $|v|_t^2$ 有上界， $|v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1t)\leq|v|_0^2\exp(C_1T)$ ；并且 $|v|_\theta^2/|v|_\tau^2\to 1\; (\theta,\tau\to 1)$ 。由这两个估计可知 $||v|_\theta^2-|v|_\tau^2|=|v|_\tau^2\times|\frac{|v|_\theta^2}{|v|_\tau^2}-1|\to 1\; (\theta,\tau\to 1)$ ，故由Cauchy收敛定理可知，存在实数 $|v|_T^2$ ，使得 $|v|_t^2\to |v|_T^2\; (t\to T)$ 。又注意到：第一， $|v|_t\geq 0\Rightarrow |v|_T\geq 0, \forall v\in T_xM$ ；

第二，当 $v=0$ 时 $|v|_t\equiv 0\Rightarrow |v|_T=0$ ，而当 $v\ne 0$ 时又利用 $|\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau)$ 可得下界估计 $|v|_t^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1t)\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)\Rightarrow |v|_T^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)>0$ ；第三， $|v+w|_t\leq |v|_t+|w|_t\Rightarrow |v+w|_T\leq |v|_T+|w|_T,\forall v,w\in T_xM$ ；第四， $|\lambda v|_t=|\lambda||v|_t\Rightarrow |\lambda v|_T=|\lambda||v|_T, \forall v\in T_xM, \lambda\in\mathbb R$ 。因此 $|\cdot|_T$ 是一个模长。

现在，如果 $V$ 是 $M$ 上的连续切向量场，则利用上面的结果我们可以得到两个与 $x\in M$ 无关的一致的控制： $|V(x)|_t^2\leq (\max_{x\in M}|V(x)|_0^2)\exp(C_1T)$ ，以及 $|\log({|V(x)|_\theta^2}/{|V(x)|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau)$ 。因此利用类似上面的方法可得，在 $t\to T$ 时， $|V(x)|_t^2$ 以不依赖于 $x\in M$ 的方式一致收敛于 $M$ 上的连续函数 $|V(x)|_T^2$ 。同时，由 $t$ 时刻的平行四边形公式 $|V(x)+W(x)|_t^2+|V(x)-W(x)|_t^2=2(|V(x)|_t^2+|W(x)|_t^2),\forall x\in M$ ，令 $t\to T$ 可得 $T$ 时刻也满足平行四边形公式，因此模长 $|\cdot|_T^2$ 可以由一个内积 $g(T)$ 诱导，即令 $g(x,T)(V(x),W(x))=\frac14(|V(x)+W(x)|_T^2-|V(x)-W(x)|_T^2),\forall x\in M$ 。因为 $|V|_t^2$ 一致收敛于 $|V|_T^2$ ，故 $g(t)$ 也一致收敛于 $g(T)$ ；利用 $|\cdot|_T^2$ 在 $M$ 上连续可知 $g(T)$ 也连续。故 $g(T)$ 是 $M$ 上的一个连续的、对称正定的二阶协变张量。

第二步，证明 $g(T)$ 实际上是 $C^\infty$ 的，从而 $g(T)$ 成为 $M$ 上的黎曼度量，且 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ ：由于 $M$ 为闭流形，我们可以取 $M$ 上有限个适当的局部坐标邻域覆盖 $M$ 满足：第一，每个局部坐标邻域都包含在一个更大的紧的局部坐标邻域内，这样 $t=0$ 时刻的所有几何量的绝对值在每一个局部坐标系中都是有界的，例如 $|g_{ij}(0)|\leq C_1,|g^{ij}(0)|\leq C_2,|\Gamma_{ij}^k(0)|\leq C_3$ 等等；第二， $t=0$ 时刻的模长 $|\cdot|_0$ 与每一个局部坐标系下的欧氏模（记为 $|V|'=\sqrt{\sum_{i=1}^n(V^i)^2}$ ，其中 $V$ 为切向量）都是等价的，且相差倍数为常数 $C>0$ ， $C$ 对每个局部坐标系都一致： $C^{-1}|V|'\leq |V|_0\leq C|V|'$ 。注意到上面我们已经证明了 $|v|_0^2\exp(-C_1T)\leq|v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1T)$ ，这就是说明了 $|\cdot|_t$ 与 $|\cdot|_0$ 等价，相差的倍数与 $t$ 无关，从而 $|\cdot|_t$ 也与 $|\cdot|'$ 是等价的，相差的倍数也与 $t$ 无关。

要证明 $g(T)$ 是 $C^\infty$ 的，只需在上述的每一个局部坐标系 $(U;x^i)$ 下证明 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 在 $t\to T$ 时一致收敛即可，其中 $\alpha$ 为任意多重指标， $\partial^\alpha$ 代表对相应的局部坐标 $x^i$ 求偏导数。这是因为由数学分析的定理可知，光滑函数 $g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $g_{ij}(T)$ 且所有一阶偏导数 $\partial^\alpha g_{ij}(t)\;(|\alpha|=1)$ 一致收敛时，我们可以得到 $g_{ij}(T)$ 的所有一阶偏导数连续，且 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $\partial^\alpha g_{ij}(T)\;(|\alpha|=1)$ 。对于二阶偏导数、三阶偏导数等也是类似的。因此当 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 对任意多重指标 $\alpha$ 都一致收敛时，可得 $g_{ij}(T)$ 的所有阶偏导数都连续，也就是说 $g_{ij}(T)$ 是光滑函数，从而 $g(T)$ 在覆盖 $M$ 的局部坐标系下的分量都是光滑的，所以 $g(T)$ 是 $C^\infty$ 的。同时在上述每一个局部坐标系下 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛于 $\partial^\alpha g_{ij}(T)$ ，于是 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ 。

要证明 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛，我们首先有 $|\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|=|\int_\tau^\theta [\frac{d}{dt}\partial^\alpha g_{ij}(t)]dt|=2|\int_\tau^\theta\partial^\alpha R_{ij}dt|\leq2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt$ 。（以下常数 $C>0$ 可以在不同式子中代表不同的值，且都不依赖于时间和局部坐标系）因此我们只需证明，对任意多重指标 $\alpha$ ，存在与时间和局部坐标系无关的常数 $C>0$ 使得 $|\partial^\alpha R_{ij}|\leq C$ ，那么就有 $|\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|\leq 2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt\leq 2C(\theta-\tau)\to 0\; (\theta,\tau\to 0)$ ，故由Cauchy收敛定理可得到 $\partial^\alpha g_{ij}(t)$ 一致收敛。

由数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中最后关于曲率张量的高阶协变微分的估计，我们可得 $|Rm|\leq C\Rightarrow |\nabla^nRm|\leq C$ ，因此关键在于将关于高阶协变微分的估计 $|\nabla^nRm|\leq C$ 转化为局部坐标系下关于偏导数估计 $|\partial^\alpha R_{ij}|\leq C$ 。由trace不等式我们可以得到 $|\nabla^nRic|\leq C$ ，先看一阶的情形： $\nabla_kR_{ij}=\partial_kR_{ij}-\Gamma_{ki}^lR_{lj}-\Gamma_{kj}^lR_{il}$ ，故取绝对值 $|\partial_kR_{ij}|\leq|\nabla_kR_{ij}|+|\Gamma_{kj}^l||R_{il}|+|\Gamma_{ki}^l||R_{lj}|$ 。注意到，局部坐标系的选取使得 $|\cdot|_t$ 与局部坐标系下的欧氏模 $|\cdot|'$ 是等价的，且相差的倍数与时间无关，于是它们在一般的张量上诱导的模也是等价的，相差的倍数也与时间无关（注：可以在将 $g_{ij}$ 特征值对角化的欧氏模正交标架下验证）。因此对几何量的绝对值，有以下的估计 $|\nabla_kR_{ij}|\leq|\nabla Ric|'\leq C|\nabla Ric|\leq C, |R_{ij}|\leq|Ric|'\leq C|Ric|\leq C, \forall i,j,k$ 。因此我们只需要估计绝对值 $|\Gamma_{ij}^k|$ 即可： $|\partial_t\Gamma_{ij}^k|=|g^{kl}(-\nabla_iR_{jl}-\nabla_jR_{il}+\nabla_lR_{ij})|\leq C\max_{k,l}|g^{kl}(t)|$ ， $|\partial_tg^{kl}|=|2R^{kl}|\leq C|Ric|\leq C\Rightarrow |g^{kl}(t)|\leq|g^{kl}(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而 $|\partial_t\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而我们完成了一阶偏导数的估计。

高阶偏导数的估计是完全类似的，用归纳法就可以完成，只不过需要估计额外的项 $|\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k|$ 。以二阶偏导数估计为例，注意到 $\nabla_l\nabla_kR_{ij}=\partial_l(\nabla_kR_{ij})-\Gamma_{kl}^h\nabla_hR_{ij}-\Gamma_{il}^h\nabla_kR_{hj}-\Gamma_{jl}^h\nabla_kR_{ih} \\ =\partial_l\partial_kR_{ij}-(\partial_l\Gamma_{ki}^p)R_{pj}-(\partial_l\Gamma_{kj}^p)R_{ip}+...$ ，其中省略号的部分是已经估计过的项。于是，我们只需估计 $|\partial_l\Gamma_{ij}^k|,\forall i,j,k,l$ 即可： $\partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)$ ，注意到 $\partial_t\Gamma_{ij}^k$ 是张量，故有 $\nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)-\Gamma_{il}^h\cdot\partial_t\Gamma_{hj}^k-\Gamma_{jl}^h\cdot\partial_t\Gamma_{ih}^k+\Gamma_{hl}^k\cdot\partial_t\Gamma_{ij}^h=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)+...$ ，同时 $\nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=g^{kp}(-\nabla_l\nabla_iR_{pj}-\nabla_l\nabla_jR_{ip}+\nabla_l\nabla_pR_{ij})$ 用二阶协变微分的估计 $|\nabla^2Ric|\leq C$ 以及 $|g^{kl}|\leq C$ 就能控制，因此最终 $|\partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\partial_l\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\partial_l\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT$ ，从而我们完成了二阶偏导数的估计。更高阶偏导数中出现的 $|\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k|$ 也可逐步使用这里的方法估计，于是我们完成了第二步。

第三步，导出矛盾，完成定理的证明：由于 $T$ 时刻 $g(T)$ 为 $M$ 上的黎曼度量，因此由Ricci流的短时间存在性可知， $\partial_t\hat g=-2Ric_{\hat g}, \hat g(0)=g(T)$ 有短时间的光滑解，设解的存在区间为 $[0,\varepsilon)$ 。于是令 $h(t)=g(t),\forall t\in[0,T]; h(t)=\hat g(t-T),\forall t\in[T,T+\varepsilon)$

，则 $h(t)$ 定义在 $[0,T+\varepsilon)$ 上，且由 $t\to T^-$ 时 $g(t)$ $C^\infty$ 收敛于 $g(T)$ 可知 $h(t)$ 在 $T$ 时刻的拼接也是光滑的，它是Ricci流的整体光滑解，这与 $T$ 是Ricci流的最大存在时间矛盾，因此定理1得证。（//只证明了关于空间方向光滑，忘记证明关于时间方向光滑了）

【推论1】定理1中的结论可改进为 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty$ 。

【证明】用反证法。若不然，则存在常数 $C>0$ 以及一列严格单调上升的时间 $t_i\to T\;(i\geq 1)$ 使得 $M(t_i)\leq C$ ，其中 $M(t)=\max_{x\in M}|Rm(x,t)|$ 。取定一个充分大的 $i$ ，使得 $T-\frac1{16C}\leq t_i<T$ 。由下面的引理1可知 $M(t)\leq 2M(t_i)\leq 2C, \forall t\in[t_i,T]$ ，这与定理1中得到的 $\limsup_{t\to T}M(t)=+\infty$ 矛盾，故命题得证。

【引理1】（Doubling time estimate，[2]）设 $g(t),t\in[0,T)$ 为闭流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $t=0$ 时 $|Rm|\leq C$ ，则 $|Rm|\leq 2C, \forall t\in[0,\frac1{16C}]$ 。

【注2】这个引理的证明并不困难，属于数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中最后部分的内容，有机会再一起补充完整。这个引理说明当 $|Rm|$ 在某一时刻上界被 $C$ 控制时， $|Rm|$ 不能增长太快，要想它加倍至少要经过一个短时间 $\frac1{16C}$ 。

【推论2】设 $g(t),t\in[0,T)$ 为闭三维流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 为解的最大存在时间，且 $Ric(0)>0$ ，则 $\lim_{t\to T} R_{max}(t)=+\infty$ ，其中 $R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t)$ 。

【证明】首先我们指出，在三维流形上有一个一般的不等式 $|Ric|\geq c|Rm|$ ，其中 $c>0$ 为绝对常数。这是因为利用Weyl张量为0的条件 $0=W_{ijkl}=R_{ijkl}+\frac R2(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})-(R_{il}g_{jk}+R_{jk}g_{il}-R_{ik}g_{jl}-R_{jl}g_{ik})$ 在单位正交标架下我们可以得到 $|Rm|^2=\sum_{i,j,k,l}R_{ijkl}^2=\sum_{i,j,k,l}[-\frac R2(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl})+(R_{il}\delta_{jk}+R_{jk}\delta_{il}-R_{ik}\delta_{jl}-R_{jl}\delta_{ik})]^2 \\ \leq\sum_{i,j,k,l}6\times(\frac {R^2}4\delta_{il}^2\delta_{jk}^2+\frac{R^2}4\delta_{ik}^2\delta_{jl}^2+R_{il}^2\delta_{jk}^2+R_{jk}^2\delta_{il}^2+R_{ik}^2\delta_{jl}+R_{jl}^2\delta_{ik}^2) \\ =6\times(2\times\frac{R^2}4\cdot3\cdot3+4\times|Ric|^2\cdot3)$ ，再利用trace不等式 $R^2\leq3|Ric|^2$ 即可得到 $|Ric|\geq c|Rm|$ 的估计。

现在，由于我们已经证明过 $Ric(0)>0$ 时， $R(0)>0$ 且 $T<+\infty$ ，因此，由推论1 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty$ ，从而由 $|Ric|\geq c|Rm|$ 可得 $\lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Ric(x,t)|)=+\infty$ 。最后我们证明过 $Ric>0$ 在Ricci流下是保持的，此时 $R>0$ 且 $|Ric|^2\leq R^2$ ，故 $\lim_{t\to T}R_{max}(t)=+\infty$ ，证毕

二、Ricci流有限时间奇点的分析

现在，我们可以得出在 $t\to T$ 时Ricci流的一些几何性质，这将在分析规范化的Ricci流的几何性质时用到。

【定理2】设 $g(t),t\in [0,T)$ 为三维闭流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 为最大存在解时间，且 $Ric(0)>0$ ，则 $\lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，其中 $R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t), R_{min}(t)=\min_{x\in M}R(x,t)$ 。

【证明】首先由推论2， $R_{max}(t)\to +\infty\; (t\to T)$ ，再利用数量曲率的梯度估计，曲率张量高阶协变微分的估计中数量曲率的梯度估计 $\frac{|\nabla R|^2}{R^3} \leq \beta R^{-2\alpha}+CR^{-2}\; (0<2\alpha<1)$ ，可以对数量曲率的变化速度进行控制，具体如下：

$|\nabla R|^2\leq \beta R^{3-2\alpha}+CR$ ，且存在充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta_1$ 使得 $CR_{max}(t)\leq CR_{max}^{3-2\alpha}(t),\forall t\in[\theta_1,T)$ ，因此 $|\nabla R|\leq (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha}$ 。现在对于一个固定的时刻 $t\in[\theta_1,T)$ ，设 $x_1\in M$ 使得 $R(x_1,t)=R_{max}(t)$ ，并考虑 $t$ 时刻 $M$ 上的测地球 $B=B(x_1,\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}})$ ，其中 $\varepsilon>0$ 为待定常数。注意到 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流中最后我们证明了存在常数 $\eta>0$ 使得 $Ric\geq 2\eta^2Rg$ ，即Ricci曲率有下界 $2\eta^2R_{min}(0)>0$ ，故由Myers定理 $M$ 是紧的，因此是完备的。

于是对于任意一点 $x_2\in B$ ，存在从 $x_2$ 到 $x_1$ 的 $B$ 中最短测地线 $\gamma:[0,L]\to M$ ，其中 $L=d(x_1,x_2)\leq\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ 。注意到 $R_{max}(t)-R(x_2)=\int_0^L[\frac d{dt}R(\gamma(t))]dt=\int_0^L\nabla R(\gamma(t))\cdot\gamma'(r)dt \\ \leq\int_0^L|\nabla R(\gamma(t))|\cdot 1dt\leq L\cdot (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha}\leq \frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{1-\alpha}$ ，因此 $R(x_2)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max}$ 。由于 $x_2\in B$ 任意，故 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max}$ 。现在再取充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta_2\in[\theta_1,T)$ 使得 $\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha}(t)\leq\varepsilon,\forall t\in[\theta_2,T)$ ，因此 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ 。

现在再由 $Ric\geq 2\eta^2Rg$ 以及Myers定理可知，上述的从 $x_1$ 出发的最短测地线 $\gamma$ 在长度 $L(\gamma)>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ 时不可能保持最短。注意到 $\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}\leq \frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)R_{max}(t)}}$ ，如果我们取定待定常数 $\varepsilon>0$ 充分小使得 $\frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)}}<\frac1\varepsilon$ ，此时 $\varepsilon$ 可以只由 $g(0)$ 决定，那么 $\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}< \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ 。

若 $M$ 上存在一点 $y$ 处于测地球 $B$ 之外，由 $M$ 完备可知，存在一条从 $x_1$ 到 $y$ 的最短测地线 $\gamma_1$ 。由于该测地线长度 $L(\gamma_1)=d(x,y)\geq \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}$ ，因此 $\gamma_1$ 上存在一点 $z$ 使得 $\gamma_1$ 上从 $x_1$ 到 $z$ 的部分 $\gamma_1|_{[x_1,z]}$ 仍然是最短测地线，包含在 $B$ 中，且长度 $L(\gamma_1|_{[x_1,z]})>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ ，这与之前说的在长度 $L>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}$ 时测地线 $\gamma$ 不可能保持最短矛盾。因此 $M=B$ 。因为我们之前在 $B$ 中建立了不等式 $\inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ ，因此 $R_{min}(t)\geq (1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)$ 。 $\varepsilon>0$ 可以做到任意小，因此我们证明了 $\lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，命题得证。

【推论3】在定理2的条件下， $\int_0^Tr(t)dt=+\infty$ ，其中 $r=\frac{\int_M Rd\mu}{\int_M d\mu}$ 。

【证明】首先我们设 $f$ 是以下ODE的解： $\frac{df}{dt}=2R_{max}(t)f,f(0)=R_{max}(0)$ 。这个ODE总是有解的，因为 $R_{max}(t)$ 是关于 $t$ 的连续函数（注：可以这样验证：对于两个充分接近的时刻 $t_1,t_2$ ，设 $R_{max}$ 分别在 $x_1,x_2$ 上达到，由 $R(x,t)$ 的连续性有 $R_{max}(t_1)=R(x_1,t_1)\leq R(x_1,t_2)+\varepsilon\leq R_{max}(t_2)+\varepsilon$ ，另一边的不等式也可以同样建立）。此时 $\partial_t(f-R)=2R_{max}f-(\Delta R+2|Ric|^2)$ 。注意到 $Ric>0$ 时 $|Ric|^2\leq R^2$ ，故 $-2|Ric|^2\geq -2R^2\geq-2R_{max}R$ 。从而 $\partial_t(f-R)\geq \Delta(f-R)+2R_{max}(f-R)$ 。因为在 $t=0$ 时 $f-R\geq 0$ ，由函数的最大值原理可知 $f-R\geq 0$ 在 $[0,T)$ 上都成立，从而 $f(t)\geq R_{max}(t)\to+\infty\; (t\to T)$ 。同时我们有 $\int_0^tR_{max}(s)ds=\frac12\int_0^t(\frac1f\frac{df}{ds})ds=\frac12[\log f(t)-\log f(0)]\to+\infty\;(t\to T)$ ，因此 $\int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 。最后，由定理2知， $R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T)$ ，因此存在充分接近于 $T$ 的时刻 $\theta$ 使得 $R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T)$ ，由于 $r$ 是数量曲率的积分平均值，故 $r\geq R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T)$ 。故 $\int_0^Tr(t)dt\geq \int_\theta^Tr(t)dt\geq\frac12\int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 。其中 $\int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 是因为在紧区间 $[0,\theta]$ 上 $R_{max}(t)$ 的积分为有限值，故 $\int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty$ 减去一个有限值 $\int_0^\theta R_{max}(t)dt<+\infty$ 后仍为 $+\infty$ 。至此，我们完成了推论3的证明。

【推论4】在定理2的条件下， $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\to 0\; (t\to T)$

【证明】由 Ricci曲率张量的夹挤估计我们可知 $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon}$ 。由于 $R_{max}(t)\to +\infty, R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T)$ ，故 $R\to +\infty\; (t\to T)$ ，因此 $\frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon}\to 0\;(t\to T)$ ，证毕。

参考文献

[1] Chow, Bennett; Knopf, Dan. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[2] Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei. Hamilton’s Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics, 77. American Mathematical Society, Providence, RI; Science Press Beijing, New York, 2006.

[3] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：知乎用户（登录查看详情）

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