Riemann Zeta 函数（二）

在上一篇文章《从调和级数到 Riemann Zeta 函数》里面，我们已经给出了 Riemann Zeta 函数的定义，i.e.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}.$

其定义域是 $[1,\infty)\subseteq\mathbb{R}.$ 根据级数与定积分的等价关系可以得到：

当 $s = 1$ 时， $\zeta(1) = \infty;$
当 $s>1$ 时， $\zeta(s)<\infty.$

本文将会重点讲两个内容：

如何把 Riemann Zeta 函数从 $[1,\infty)\subseteq \mathbb{R}$ 上延拓到 $\{s\in \mathbb{C}: \Re(s)>0\}$ 上；
Riemann Zeta 函数在 $\{s\in\mathbb{C}: \Re(s)\geq 1\}$ 上没有零点。

Riemann Zeta 函数定义域的延拓

如果想把 Riemann Zeta 函数的定义域从 $[1,\infty)\subseteq \mathbb{R}$ 延拓到更大的区域 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0\}$ 上，就需要给出 Riemann Zeta 函数在 $\{s\in \mathbb{C}: \Re(s)>0\}$ 上的定义。而且在原始的定义域 $[1,\infty)\subseteq\mathbb{R}$ 上面，新的函数的取值必须与原函数的取值保持一致。

首先，我们将会在 $[1,\infty)\subseteq \mathbb{R}$ 上面证明如下恒等式：

$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx.$

证明：当 $s=1$ 时，上述等式显然成立，两侧都是 $\infty.$

$\frac{s}{s-1}-s\int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx$

$= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx$

$= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{x-n}{x^{s+1}}dx$

$= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^{s}}dx - \int_{n}^{n+1}\frac{n}{x^{s+1}}dx\bigg)$

$= \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{s}}dx + \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\int_{n}^{n+1}\frac{s}{x^{s+1}}dx$

$= \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\bigg(\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{(n+1)^{s}}\bigg)$

$= \sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n^{s-1}}-\frac{1}{(n+1)^{s-1}} + \frac{1}{(n+1)^{s}}\bigg)$

$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.$

从右式的表达式

$\frac{s}{s-1} - s \int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx$

可以看出 $\zeta(s)$ 可以延拓到 $\{s \in\mathbb{C}:\Re(s)>0\}$ 上。而且右侧的函数在 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0,s\neq 1\}$ 是解析的，并且 $s=1$ 是该函数的一个极点。进一步的分析可以得到，我们得到一个关于 $(s-1)\zeta(s)$ 的解析函数，而且 $\lim_{s\rightarrow 1}(s-1)\zeta(s)=1.$ 综上所述：

Riemann Zeta 函数可以延拓到 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0\}$ 上；
Riemann Zeta 函数在 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0, s\neq 1\}$ 上是解析的； $s=1$ 是 Riemann Zeta 函数的极点。

Riemann Zeta 函数的非零区域

著名的 Riemann 猜想说的是 $\zeta(s)$ 函数的所有非平凡零点都在直线 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)=1/2\}$ 上。因此，数学家首先要找出的就是 Riemann Zeta 函数的非零区域。而本篇文章将会证明 Riemann Zeta 函数在 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)\geq 1\}$ 上面没有零点。

$\Re(s)>1$ 区域

首先，我们要证明当 $\Re(s)>1$ 时， $\zeta(s)\neq 0.$

在这里，就需要使用一个重要的恒等式：当 $\Re(s)>1$ 时，

$\zeta(s) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$

$= \prod_{p}\bigg(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots\bigg)$

$= \prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg)^{-1},$

其中这里的 $p$ 表示所有的素数相乘，而 $p_{n}$ 表示第 $n$ 个素数。

下面我们证明：

$\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1}\geq 1-\frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}.$

事实上，令 $s = \sigma + i t,$ 当 $\sigma=\Re(s)>1$ 时，我们有

$\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1} = \bigg(1+\frac{1}{p_{n}^{s}}+\frac{1}{p_{n}^{2s}}+\cdots\bigg)$

$\geq 1-\frac{1}{|p_{n}^{s}|}- \frac{1}{|p_{n}^{2s}|} -\cdots$

$= 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}} - \frac{1}{p_{n}^{2\sigma}} -\cdots$

$= 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}.$

因此，

$|\zeta(s)| \geq \prod_{n=1}^{\infty}\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1} \geq\prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1-\frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}\bigg).$

同时，

$\lim_{n\rightarrow \infty} \bigg(1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}\bigg) = 1 ,$

$1-\frac{1}{p_{n+1}^{\sigma}-1} \geq 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1},$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}^{\sigma}}\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}<\infty$ 当 $\sigma>1.$

所以，当 $\Re(s)>1$ 时， $\zeta(s) \neq 0.$

$\Re(s) =1$ 直线

Claim 1. 下面我们将会证明恒等式：对于 $\sigma >1, \text{ } t\in\mathbb{R},$

$\Re(\ln\zeta(\sigma + it)) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)}\cos(t\ln(n)),$

其中当 $n$ 形如 $p^{\alpha},$ $p$ 是素数， $\alpha \geq 1.$ $\Lambda(n) = \ln(p).$ 而对于其余的 $n,$ $\Lambda(n)=0.$

事实上，根据 Euler 公式，

$\zeta(s) = \prod_{p}\bigg(1-\frac{1}{p^{s}}\bigg)^{-1}.$

令 $s = \sigma + it,$ 可以得到

$\ln\zeta(s) = -\sum_{p}\ln\bigg(1-\frac{1}{p^{s}}\bigg)$

$= \sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha s}}$

$= \sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot p^{-i\alpha t}$

$= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot e^{-i\alpha t \ln p}.$

进一步，

$\Re(\ln\zeta(s)) = \sum_{p}\sum_{\alpha =1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot\cos(\alpha t \ln p)$

并且右侧等于

$RHS = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)}\cdot\cos(t\ln(n))$

$= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty} \frac{\ln(p)}{p^{\alpha\sigma}\ln(p^{\alpha})}\cdot\cos(t\ln(p^{\alpha}))$

$= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot\cos(\alpha t\ln p).$

所以，恒等式成立，Claim 1 证明完毕。

Claim 2.

$\Re(3\ln\zeta(\sigma) + 4\ln\zeta(\sigma+it) + \ln\zeta(\sigma+2it))\geq 0,$

其中 $\sigma>1,$ $t\in\mathbb{R}.$ 换句话说

$|\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|\geq 1.$

事实上，

从三角函数的性质可以得到：

$3+4\cos(\theta)+\cos(2\theta)$

$= 3 + 4\cos(\theta)+2\cos^{2}(\theta)-1$

$= 2(\cos(\theta)-1)^{2}\geq 0,$

所以，从 Claim 1 可以得到

$\Re(3\ln\zeta(\sigma) + 4\ln\zeta(\sigma+it) + \ln\zeta(\sigma+2it))$

$= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)} \cdot ( 3 + 4\cos(t\ln(n)) + \cos(2t\ln(n))) \geq 0.$

进一步地，使用 $\Re(\ln(z)) = \ln(|z|)$ 可以得到

$0\leq 3\ln|\zeta(\sigma)| + 4\ln|\zeta(\sigma+it)| + \ln|\zeta(\sigma+2it)|$

$= \ln|\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|,$

可以推导出 $|\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|\geq 1.$ 因此 Claim 2 证明完毕。

Claim 3. $\zeta(1+it)\neq 0$ 对于所有的 $\{t\in\mathbb{R}: t\neq 0\}$ 成立。

反证法：假设 $\zeta(s)$ 在 $s=\sigma + it (t\neq 0)$ 存在阶数为 $m$ 的零点。也就是说：

$\lim_{\sigma\rightarrow 1^{+}} \frac{\zeta(\sigma+it)}{(\sigma+it-1)^{m}}=c\neq 0,$ 其中 $m\geq 1.$

从 Riemann Zeta 函数的延拓可以知道， $\lim_{\sigma\rightarrow 1^{+}}(\sigma -1)\zeta(\sigma) = 1.$ 并且 $\zeta(s)$ 在 $\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0, s\neq 1\}$ 上是解析函数。