路径积分表述，与格点正规化

目录：

量子场论（8）

本次内容：给出与Wightman axioms与Locality axioms等价的Path integral axioms，简单讨论格点上场论的基本概念。

（基本概念就不再重复了，这里默认大家已经熟知物理上通常对路径积分的导出方法，即插入完备性条件对 $\langle q|e^{-i\hat{H}t/\hbar} | q'\rangle$ 做变形，基本相当于Peskin的9.1与9.2节的内容或者任何一本量子力学教材中关于路径积分的内容。以及GTM267第20章的内容，即用Trotter product公式对酉算子群 $U(t)=e^{-i\hat{H}t/ \hbar}$ 变形得到泛函积分的表达式，并利用解析延拓 $t\to -it$ 转到欧几里得场论去定义Wiener measure。）

1，Path integral axioms：

在之前的文章中我们讨论了量子场论的Wightman axioms与Locality axioms，整个第一部分的思路就是按照Wightman axioms给出的，即我们考虑满足狭义相对性原理的单粒子态，然后对于多粒子问题考虑相应的Fock space，最后就可以很自然的得到Wightman axioms。同理，如果我们从量子系统满足光速不变原理出发，也可以在物理上很自然的得到Locality axioms。

而对于路径积分，我们也可以考虑类似的操作，从最基本的物理概念出发去构造这种表述，使得它在逻辑上看起来是非常自然的。但是，我不想在这里花费太多的时间。这里仅仅给出Path integral axioms的结果，它和其他两种表述是严格等价的。

为了方便讨论，我们对所要用到的符号做一些必要的说明：

test function的空间为： $\mathscr{D}(R^d)=C^{\infty}_0(R^d)$ ，

相应的distribution对应的空间为： $\mathscr{D}^*(R^d)$ ，这在物理上对应路径 $q$ 或场量 $\phi$ 存在的空间，

$\mathscr{D}^*(R^d)$ 上的Feynman-Kac measure： $d\mu$ ，

Fock space及其稠密子空间： $\mathscr{F}$ 与 $\mathscr{F}_0$ 。

在开始之前，我们需要下面这个重要的定理：设 $S\left\{ f \right\}$ 是 $\mathscr{D}(R^d)$ 上的泛函，且满足如下三个条件：

（1）若 $f_n\to f \in \mathscr{D}(R^d)$ ，则： $S\left\{ f_n \right\}\to S\left\{ f \right\}$ 。

（2）对任意 $f_i\in \mathscr{D}(R^d),c_i\in C$ ， $\sum \bar{c}_ic_jS\left\{ f_i-\bar{f}_j \right\}\geq0$ 。

（3） $S\left\{ 0 \right\}=1$ 。

则：存在唯一的 $\mathscr{D}^*(R^d)$ 上的测度 $d\mu(\phi)$ ，且满足： $S\left\{ f \right\}=\int e^{i\phi(f)}d\mu(\phi)$ 。

可见，对应 $d=1$ 的情况，场量 $\phi$ 的空间 $\mathscr{D}^*(R^d)$ 便简化为路径 $q$ 的空间 $\mathscr{D}^*(R^1)$ ，这里的 $S\left\{ f \right\}$ 称为generating functional。下面我们给出Path integral axioms的具体内容：

公理（1）：对任意 $f_j\in\mathscr{D}(R^d)$ ， $j=1,2,...,N$ ，和矢量 $z=(z_1,..,z_n)\in C^N$ ， $z\to S\left\{\sum_{j=1}^{N}z_jf_j \right\}$ 是 $C^N$ 上的函数。这也就是要求，测度 $d\mu$ 要衰减的比任何指数都快。

注：如果测度 $d\mu$ 满足公理（1），那么我们就可以得到如下重要推论：存在distribution $S_n(x_1,...,x_n)\in\mathscr{D}^*(R^d)$ ，使得： $\int \phi(f_1)... \phi(f_n)d\mu=\int S(x_1,...,x_n)\prod_{i=1}^{n}f_i(x_i)dx$ 。这里的 $S_n(x_1,...,x_n)\in\mathscr{D}^*(R^d)$ 就是所谓的Schwinger函数。

公理（2）： $S\left\{ f\right\}$ 对于 $1\leq p \leq2$ ，以及常数 $c$ ，满足： $\left| S\left\{ f \right\} \right|\leq exp c \left( \left|\left| f\right|\right| _{L^1}+ \left| \left| f \right| \right|_{L^p}^p \right)$ 。

注：这里若 $p=2$ ，这个公理的存在是为了保证两点编时格林函数的存在，其只有在 $x=y$ 时才存在唯一奇点。而且，如果 $S\left\{ f \right\}$ 满足公理（2），我们还可以得到Schwinger函数 $S_n\in L^1(R^{nd})$ 。

公理（3）： $S\left\{ f \right\}$ 在欧式变换下具有不变性，即： $S\left\{ Ef \right\}=S\left\{ f \right\}$ ，等价的测度 $d\mu$ 具有不变性，即： $d\mu=Ed\mu$ 。这条公理不用多说，它对应着闵氏时空中的场论具有洛伦兹对称性。

公理（4）：为了方便起见，在讨论这条公理之前，我们需要先做一些准备。

定义集合： $\mathscr{A}=\left\{ A(\phi)=\sum_{j=1}^{N}c_jexp(\phi(f_j)),c_j\in C,f_j\in \mathscr{D} \right\}$ ，很显然，其中元素是映射 $\mathscr{D}^*(R^d) \to C$ 。记 $R^d_{+}=\left\{ \mathbf{x},t;t>0 \right\}$ ，若将 $\mathscr{A}$ 中元素限制为： $f_j\in C_0(R^d_+)$ ，我们可以得到子集 $\mathscr{A}_+\subset\mathscr{A}$ 。由此，公理（4）的具体内容为：在时间反演 $T:(\mathbf{x},t)\to (\mathbf{x},-t)$ 下有： $\left( TA,A \right)_{L^2}\geq 0$ ，等价的，矩阵 $M_{ij}=S\left\{f_i-Tf_j \right\}$ 是正定的。

注：利用这条公理我们可以构造出我们熟悉的多粒子态Hilbert space $\mathscr{F}$ ，具体步骤如下：集合 $\mathscr{A}$ 的包闭为： $\varepsilon=L^2(\mathscr{D}^*(R^d),d\mu)$ ，相应的我们可以定义 $\varepsilon_+$ 对应 $\varepsilon$ 中由 $\mathscr{A}_+$ 中元素张成的集合。定义 $\mathscr{N}$ 为 $\varepsilon_+$ 中满足 $\left( TA,B \right)_\varepsilon=0$ 的矢量的集合。由此我们可以定义商集 $\mathscr{F}=\varepsilon_+/\mathscr{N}$ 就是我们之前熟悉的多粒子Hilbert space。

公理（5）：对于函数 $A(\phi)\in L^1$ ，满足： $\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{1}{t}\int_0^t T(s)A(\phi )T(s)^{-1}ds=\int A(\phi) d\mu(\phi)$ ，这等价于 $T(s)$ 具有遍历性。它的物理意义在于，这里的遍历性假设可以唯一的确定 $\mathscr{F}$ 中的vacuum $| \Omega \rangle$ 。

数学上可以严格给出，如果测度 $d\mu$ 满足以上几个基本假设，那么等价的我们就可以给出Wightman axioms与Locality axioms，具体细节可以参考quantum physics a functional integral point of view的第19章。

2，格点上的场论：

现在考虑一种可以避开泛函分析中诸多结论的处理方法，我们随便观察一个生成泛函 $Z[J]=\int exp\left[i\int d^4x (\mathscr{L}+J\phi) \right]D\phi$ 的表达式就容易发现，关于量子场论（量子力学）中的路径积分理论，必定会牵扯到很多泛函分析中的结论和概念，因为它牵扯的无穷维函数空间上的积分。这里一个不错的办法是在这里引入格点正规化，一来我们可以避开泛函分析中的结论，二来借此我们可以直接考虑正规化之后的场论。现在假设我们的场论并不定义在整个时空上，而是定义在有限范围时空中分立的格点上。设格点直接间距为 $\varepsilon$ ，而时空区域的范围为 $L$ 。当我们取 $\varepsilon \to 0$ 时就可以得到有限时空上的连续场论；而取 $L\to \infty$ 时就可以得到统计力学。

之前我们的场量 $\phi$ 为时空上的函数，即 $\phi:R^4\to R$ ，现在我们将其限制在格点上，记格点的集合为 $\Gamma$ 其中一共有 $N$ 个元素（对应时空上的 $N$ 个格点）。这时的场量变为 $\phi:\Gamma\to R$ ，很显然场量的集合 $F=\left\{ \phi:\Gamma\to R \right\}$ 同构于 $R^N$ 。无穷维函数空间上的积分是相对复杂的，但是格点上场量的积分就等价于 $R^N$ 上的积分，这是我们再熟悉不过的东西。

我们熟悉的高斯积分的表达式为： $\int_R e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}dx=e^{\frac{b^2}{2a}}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}$ ，现在考虑 $R^N$ 上的高斯积分公式， $\int e^{-\frac{1}{2}(\phi,A\phi)+(J,\phi)}d^N\phi=det(2\pi C)^{\frac{1}{2}}$ 。其中， $A$ 为对称正定实矩阵， $C=A^{-1}$ ， $J,\phi\in R^N$ ，括号表示 $R^N$ 上的内积。借此，我们可以定义 $R^N$ 上的高斯测度为： $d\mu_C(\phi)=(det2\pi C)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(\phi,C^{-1}\phi)}d^N\phi$ ， $\int d\mu_C(\phi)=1$ 。

借此，我们可以给出格点上的生产泛函： $Z[J]=\int D_\Gamma \phi e^{-S_\Gamma (\phi)+(J,\phi)_{\Gamma}}$ ，其中： $D_{\Gamma}=\prod_{x\in \Gamma}d\phi(x)$ 。着很显然就是 $R^N$ 上的一个积分表达式，剩下的操作就是我们高数中熟悉的操作。相应的n点关联函数可以表示为： $\left[\frac{1}{Z[J]}\frac{\delta^n}{\delta J (x_1)...\delta J (x_n)}Z[J] \right]_{J=0}$ ；而相应力学量的真空期望值可以表示为： $\frac{1}{Z[0]}\int D_{\Gamma}\phi e^{-S_\Gamma}O(\phi)$ ，其中 $\frac{\delta}{\delta J(x)}=\varepsilon^{-d}\frac{\partial}{\partial J(x)}$ 。

考虑 $\phi^4$ 理论中路径积分的微扰展开 $\int d\mu(\phi)e^{\lambda\int_{\Gamma}\phi(x)^4dx}=1+\lambda\int_{\Gamma}dx\int d\mu(\phi)\phi(x)^4+\cdot\cdot\cdot$ ，很显然，其中 $\int d\mu(\phi)\phi(x)^4=3D_{\Gamma}(x,x)^2$ ，这里 $\varepsilon \to0$ 时 $D_{\Gamma}(x,x)$ 变为通常连续场论中的传播子，而传播子唯一的起点就在 $x=y$ 处，很显然路径积分中的微扰展开在极限 $\varepsilon \to0$ 也是发散的。一种避免发散的做法是引入Wick ordering 例如： $:\phi(x)^2:=\phi(x)^2-D_{\Gamma}(x,x)$ ，当然，对于 $d>2$ 的情况，Wick ordering无法避免所有发散，这里的另一种方法就是去引入重整化来避免发散。

（图侵删）

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：萨塔妮亚

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