为什么折射率也是一个复数？

在介质-光相互作用系统中，介质的耗散性质，才是导致复数折射率的关键。

关于题主的问题，我想在其他的答主以及其引用中可以得到详尽的答复了。但我想，作为一个学物理的，总要讲一讲”物”理吧。首先我们咬文嚼字，并先给出结论：复数折射率包括四个部分，正实部是正常折射，负实部是反常折射；正虚部是能量增益；负虚部是能量耗散，在这里我们只讨论负虚部，其他的情况可以参阅[2]。

众所周知，无论是电动力学还是光学，对介质的处理都是尽可能的唯象;

在冰冰 @白如冰的答案中，我们默认了导体Maxwell方程，由此从Maxwell方程预言了广义极化率可以是复数；这里，我们考虑到为了保证Maxwell方程的形式不变，定义了广义电极化率。

在 q神@qfzklm 的答案中，我们考虑到线性微分方程形式解的性质，预言了广义极化率可以是复数；这里，我们考虑到形式解的形式不变性，定义了广义波矢量，进而得到了广义极化率。

得到了广义极化率之后，得到折射率的过程是显然的。

在这里，我们通过考虑一些更加”基本的“物理事实去讨论为什么折射率可以是复数（甚至可以是纯的负实数等等）；即我们定义广义极化率是物质——光相互作用的线性响应理论给出的:

$P\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _0}\int_0^\infty {d\tau \tilde \chi \left( \tau \right)E\left( {z,t - \tau } \right)}$

这个定义在很多领域都适用——我们在凝聚态物理中学到这个系数 $\tilde \chi \left( \tau \right)$ 以及其傅里叶变换 $\tilde \chi \left( \omega \right)$ 有一个很好听的名字叫做susceptibility，这是一类重要的可观测量。在光学、电动力学中，介质对电场的线性响应就是电极化率。

在量子力学中, $P(z,t)$ 又和原子的密度矩阵元息息相关，从物质和场的演化，我们有一套自洽方法[1]去求解所谓的suspectibility，这往往依赖数值计算:

但从解析情况看来，从物质的角度,在假设光场是慢变的情况下，对于最简单的二能级原子，广义极化率一个显式的表达式是:

$P\left( {z,t} \right) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{2}{\cal E}\left[ {\chi \left( \omega \right){e^{ - i\left( {\omega t - kz} \right)}} + \chi \left( { - \omega } \right){e^{i\left( {\omega t - kz} \right)}}} \right] = \Omega {\rho _{ab}}\left( {z,t} \right) + c.c$

$\begin{array}{l} P\left( {z,t} \right) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{2}{\cal E}\left[ {\chi \left( \omega \right){e^{ - i\left( {\omega t - kz} \right)}} + \chi \left( { - \omega } \right){e^{i\left( {\omega t - kz} \right)}}} \right] = \Omega {\rho _{ab}}\left( {z,t} \right) + c.c\\ \chi \left( \omega \right) = \frac{{2\Omega }}{{{\varepsilon _0}{\cal E}}}{{\tilde \rho }_{ab}} \sim \left( {{\rho _{aa}},{\rho _{bb}}} \right) \end{array}$

进而和跃迁算符的期待值有联系上:

$\chi \sim \left\langle {\left| a \right\rangle \left\langle b \right|} \right\rangle$

所有具体的推导在参考文献[1,2]中均有体现，具体的推导留给有兴趣的读者。

了解了我们物理学对物质——光相互作用系统的基本处理手段之后，我们回到题目，为什么折射率是复数

注意到，算符的期待值不一定是纯实数的，我们在量子力学中已经学到了，只有厄米（保守的）量子系统观测量的本征值才是实数，非厄米的（耗散的）系统观测量的本征值不一定是实数——因为原子系统是一个耗散系统，介质的耗散性质，才是导致复数折射率的关键。

援引参考文献[1]中的对于三能级系统某个特殊情况的结果:

$\begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( \chi \right) \sim - \frac{\Delta }{{{\gamma ^2} + {\Delta ^2}}}\left[ {{\rho _{aa}}\left( 0 \right) - {\rho _{bb}}\left( 0 \right)} \right]\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim - \frac{\gamma }{{{\gamma ^2} + {\Delta ^2}}}\left[ {{\rho _{aa}}\left( 0 \right) - {\rho _{bb}}\left( 0 \right)} \right] \end{array}$

其中 $\Delta$ 是光频率和原子固有频率的差频, $\gamma$ 是描述原子耗散的参数，显然地有 $\gamma \to 0,\text{Im}(\chi) \to 0$

一般的三能级系统也有这个结果。

我们可以从经典理论重新认识这个事情，从冰冰的推导，导体就是典型的耗散介质；

而从Q神的推导中，导体的耗散已经全部唯象的引入倒了电场中——我们无法再回归物理本质了。

我们理应从更加广泛的统计力学来考虑这个问题，刚好我这个学期正在学习统计力学——按照统计力学线性响应理论的精神，susceptibility的虚部：

${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim \pi \sum\limits_{a,b} {\frac{{{B_{ab}}{A_{ba}}}}{{{E_b} - {E_a} - \hbar \omega }}\left( {{n_a} - {n_b}} \right)\delta \left( {\hbar \omega - \left( {{E_b} - {E_a}} \right)} \right)}$

其中被扰动的能级是分立的而且处于热平衡态[3]， $H'=-A\cos(\omega_0 t)$ ,显然，在没有耗散加持的情况下，当且仅仅当扰动频率和原子频率差相关，susceptibility才会出现虚部，对于绝大部分的扰动频率，susceptibility都是0。

而只有当我们唯象的引入一个系统的耗散 $\Gamma_0$

才有: $\begin{array}{l} {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim \pi \sum\limits_{a,b} {\frac{{{B_{ab}}{A_{ba}}}}{{{{\left( {{E_b} - {E_a} - \hbar \omega } \right)}^2} + \Gamma _{ab}^2}}\left( {{n_a} - {n_b}} \right)\delta \left( {\hbar \omega - \left( {{E_b} - {E_a}} \right)} \right) + \frac{{\hbar \omega }}{{{{\left( {\hbar \omega } \right)}^2} + \Gamma _{ab}^2}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \chi \left( {el} \right)} \\ {\mathop{\rm Re}\nolimits} \chi \left( {el} \right) \sim \chi \left( 0 \right) \end{array}$

于是，有了耗散的性质之后，任何频率下都会有一个虚部了。

我们还是给一个模拟吧。。。三能级体系的EIT的折射透射。。考虑的是是用刘维尔算符的稳态（进而体系是一个耗散体系）

[1]Quantum Optics, Marlan O. Scully, etc, Cambridge Press.

[2]Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light, P W Milonni, IOP press.

[3]

https://www.fys.ku.dk/~jjensen/Book/echap3.pdf

[4]python code:

from qutip import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

u = basis(3,0)
g = basis(3,1)
e = basis(3,2)

sigma_ee = e*e.dag()
sigma_uu = u*u.dag()
sigma_gg = g*g.dag()
sigma_ue = u*e.dag()
sigma_ge = g*e.dag()

Delta_min = -3.0
Delta_max = 3.0
step = 300
Delta_list = np.linspace(Delta_min,Delta_max,step)

gamma_eu = 5
gamma_eg = 0.1
c_o = [np.sqrt(gamma_eg)*sigma_ge,np.sqrt(gamma_eu)*sigma_ue]
phi = 0
Omega1 = 0.1
Omega2 = 0.5

result = []
for Delta in Delta_list:
    H = -Delta*(sigma_ee-sigma_gg) + phi*(sigma_ee-sigma_uu)+ Omega1*(sigma_ge+sigma_ge.dag())+Omega2*(sigma_ue+sigma_ue.dag())
    rhoss = steadystate(H,c_o)
    result.append(expect(sigma_ge.dag(),rhoss))
fig,ax = plt.subplots()
plt.plot(Delta_list,[i.real for i in result],label = 'Real Part')
plt.plot(Delta_list,[i.imag for i in result],'-.',label = 'Imaginary Part')
plt.xlabel(r'\Delta')
plt.ylabel(r'\sigma_{ge}')
plt.legend()

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：浅斟低唱

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