完成一个单位的运算至少需要多少能量？

Interesting, 上个月刚好有个量子热动力学的最新的成果上了arxiv

Information is central to thermodynamics, providing the grounds to the
formulation of the theory in powerful abstract statistical terms. One must not
forget, however, that, as put by Landauer, {\it information is physical}. This
means that the processing of information will be unavoidably linked to the
costs of manipulating the real physical systems carrying the information. Here
we will focus on the particular process of erasing information, which plays a
fundamental role in the description of heat engines. We will review Landauer’s
principle and the associated erasure energy cost. We will also show, following
the recent contributions from Vaccaro and Barnett, that cost of erasing does
not need to be paid with energy, but with any other conserved quantity.
Finally, we will address the issue of designing heat engines based on these new
concepts.

简单的说，“计算”这个过程不需要任何能量，理论上能够把任何计算的能耗降到0。比如Toffoli
Gate是可逆的完备计算基底。在这种情况下能量是守恒的。

但是“计算”这个过程需要消耗内存：

为了完成计算，首先，你要从一个内存 X 上读取输入，然后把结果输出到内存 Y 上，但是对于可逆计算而言，输出结果与内存 Y 的初态是双射。也即是对于任意计算，只有一个确定的初态才对应正确的结果，我们一般叫它 0 态。

完成一次计算后，内存Y就不再是 0 态了，那我们就无法再使用它做计算了。如果我们想重复利用一个内存，我们必须想办法把内存 Y 恢复到 0 态。这就来到了上面这篇paper说的Information Erasure问题。

当然，这里要注意：虽然我们每一步计算是可逆的，但一般来说，我们不知道某个寄存器到底经过了哪些计算，也就是这个逆是找不到的。所有我们需要一个通用方法来擦除信息，而这一步是不可逆的。为了让整个系统还原，我们必须找到一种与内存相互作用以后自身不变的系统。在Landauer’s Principle 中，我们选择了热库，得到了能耗kT ln(2) 的结果。但更进一步的，也就是上面这篇文章的结果表明，任何一种守恒量的无限大系综都可以用来擦除信息，也即是擦除信息的过程不一定需要消耗能量，它可以消耗任何守恒量。

所以对你这个问题, 答案是0

鉴于 @傅铁强对为什么我们一定要用通用方法清空寄存器表示疑惑，同时我相信这也是很多人想不通的问题，我这里简单提一下。当然，没学过密度矩阵跟麦克斯韦妖的人不用看了，我这不会写的很详细，而且我就不画图了。

我们应当意识到，我们对信息的应用必然伴随着测量，这是一个不可逆过程。

首先，考虑一个单粒子热机。该粒子可能在左边，也可能在右边。初始状态下这是一个纯态 $\frac{1}{2}(|l\rangle+|r\rangle)(\langle l|+\langle r|)$

然后我们在中间插一块板，我们的这块板对粒子做了一次测量，这个时候粒子只能在左边或者右边 $\frac{1}{2}(|l\rangle\langle l|+|r\rangle\langle r|)\otimes|c\rangle\langle c|$ 变成了混态。

我们再在板的右端插入一个杆子，组成活塞 $\rho_0=\frac{1}{2}(|l\rangle\langle l|+|r\rangle\langle r|)\otimes|c\rangle\langle c|\otimes|r\rangle\langle r|$

这是我们热机完整的初态。这时候考虑一个麦克斯韦妖 $|0\rangle\langle 0|$

再测量粒子 $\frac{1}{2}(|l,c,r,0\rangle\langle l,c,r,0|+|r,c,r,1\rangle\langle r,c,r,1|)$ ( 记住顺序：粒子，板，杆，麦克斯韦妖)

对杆作用一个control-Not $\frac{1}{2}(|l,c,r,0\rangle\langle l,c,r,0|+|r,c,l,1\rangle\langle r,c,l,1|)$

让热机与热库进行一次作用，提取出能量 $\frac{1}{2}(|l\rangle+|r\rangle)(\langle l|+\langle r|)\otimes \frac{1}{2}(|r,r,0\rangle\langle r,r,0|+|l,l,1\rangle\langle l,l,1|)$

利用麦克斯韦妖的信息归零板子与杆 $\rho_0\otimes\frac{1}{2}(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|)$ 得到一个混态，无法用可逆的方法归零.整个过程必然是熵增的

当然，严格证明要考虑到non-cloning theorem，投影测量是我们仅有的复制经典信息的方法，我就不多说了

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：知乎用户（登录查看详情）

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