霍尔电导率 via Wilson Loop

对于二维的霍尔体系，我们一直使用线性响应理论导出它的横向霍尔电导。但是对于其中的推导略显麻烦。所以我尝试从一种新的方法来做这个问题–Wilson loop。这个规范场的概念可以平行迁移到波函数的纤维丛上来，因为Berry phase就是波函数空间的联络。那么对于整个Bloch流行上纤维从的拓扑，Wilson loop可以很好地刻画。下面我们具体地谈一谈这个方法。

假设我们在二维体系的横向X方向加一个横向电场，由于绝缘体体态是有能隙的，电子趴在价带上，同时在动量空间沿着 $k_x$ 方向做匀速运动， $\frac{dk_x}{dt}=-eE$ 。这里我们已经采用自然单位制，同时为了讨论的方便，后面将要用到的晶格常数也趣为1。一个处在 $|u_n(\vec{k})>$ 的电子，由于 $k_x$ 的递增，当它在动量空间移动到 $\vec{k}^\prime=(k_x+\Delta k_x,k_y)$ 的时候，在 $\vec{k}^\prime$ 点的人看到的矢量必须要用当地世界的坐标系描述，也就是这个电子变成了 $|u^\prime_n(\vec{k})>=\sum_{i}^{n_{occ}}|u_i(\vec{k}^\prime)><u_i(\vec{k}^\prime)|u_n(\vec{k}^\prime)>\tag{1}$

其中 $\sum_{i}^{n_{occ}}|u_i(\vec{k}^\prime)><u_i(\vec{k}^\prime)|=P(\vec{k}^\prime)$ 是 $\vec{k}^\prime$ 点占据态的投影算符， $n_{occ}$ 是被占据能带的数量。对于 $T^2$ 的BZ，当我们x方向的动量改变量为 $2\pi$ 的时候，电子回到原点，但是这个时候，由于电子环游了整个布里渊区，电子的矢量并不一定与原先的矢量重合—-它们之间因此获得了一个夹角。我们来看看这个夹角是怎么形成的。我们把 $\Delta t=\frac{2\pi}{{e}E}$ 这段时间穿过的路程 $2\pi$ 分成 $N>>1$ 段，那么波函数在每相邻两点之间的变化就满足平行移动的规律（Parallel Transport）。当电子走了一周后，回到自己当初的矢量空间，积累的作用使它变的不一样了。少小离家老大回，乡音无改鬓毛崔。我们把所有的遭遇都表示出来，

$|u_n(\vec{k})>_{G_x}=\Pi_i^NP(k_N)P(k_{N-1})(\cdots)P(k_1))|u_n(\vec{k})>\tag{2}$

这个所谓的旅途就是Wilson Loop,上面的连乘是它的离散表达式，当 $N$ 取得无穷大时，它连续地表示为 $W_x(\vec{k})=Pexp(-\int_{C_x}a_\mu(\vec{k}) dk_x^{{\mu}})$ 。 $P$ 是对路径排序, $a_u(\vec{k})$ 是Berry Phase。

在电子旅行之前，整个体系的极化矢量为 $\vec{P}_0=\frac{1}{N_s}\sum_{i,\vec{k}}<u_i(\vec{k})|i\vec{\partial}|u_i(\vec{k})>$ ,旅行之后，整个体系极化矢量有所改变， $\vec{P}=\frac{1}{N_s}\sum_{i,\vec{k}}<u_i(\vec{k})|W^\dagger_x(\vec{k})i\vec{\partial}(W_x(\vec{k})|u_i(\vec{k})>)$ 。我们很容易得出这个差别 $\Delta \vec{P}$ ,写成积分形式就是：

$\Delta \vec P=\frac{i}{4\pi^2}\int_{-\pi}^\pi dk_x\int_{-\pi}^\pi dk_yTr(log(W_x(\vec{k})))\tag{3}$

为此。可以讨论霍尔电导率了。

纵向电导率为零

这是因为在做Wilson方向上，Wilson的谱和起点无关。因此它的本征值取对数的和亦不随这起点在 $k_x$ 方向变化而变化。鉴于此，我们直接积点 $k_x$ : $\Delta \vec P=\frac{i}{2\pi}\int dk_y\vec{\partial}Tr(log(W_x(\vec k)))\tag{4}$

横向出现量子霍尔电导

上面已经讨论了 $\Delta P_x$ 一直等于零，这是因为 $\partial_x Det(W_x(\vec k))=0$ 。在 $k_y$ 方向：

$\Delta \vec P_y=\frac{i}{2\pi}\int dk_y\partial_yTr(log(W_x(\vec k)))\tag{5}$

我们把 $W_x(\vec k)$ 写开，（5）式变成：

$\Delta \vec P_y=\frac{i}{4\pi^2}\int dk_ydk_x\partial_y\sum_i<u_i(\vec k)|\partial_x|u_i(\vec k)>\tag{6}$

其中对 $dk_y$ 我们可以取 $k_y=\pm\pi$ 边界上的积分，由于这个系统满足 $C_4$ 对称性,（6）数学上还有两条 $k_x=\pm\pi$ 等价的积分。我们将（6）和它的 $C_4$ 对称项合并，消除非边界项，就得到了这个体系的横向电流为：

$\frac{\Delta P_y}{\Delta t}=E\frac{e^2}{2\pi}\frac{i}{2\pi}\oint Tr(a_\mu(\vec k))dk^\mu\tag{7}$

其中E为电场， $\frac{e^2}{2\pi}$ 为单位电导，陈数 $C=\frac{i}{2\pi}\oint Tr(a_\mu(\vec k))dk^\mu$ 是一个整数。当且仅当时间反演对称性被破坏是，这个积分才有不为零的值。

由此我们看到，在绝缘体体态中，沿着某个方向的Wilson Loop实际上刻画了在这个方向法平面的边界流。在更高维的系统中，这个结论依然实用。要研究某个面的边界态只要研究对应方向上的Wilson Loop的性质即可。而Wilson Loop的本征谱，我们可以根据Hamiltonian的对称性加以限制，所以研究对称性对与Wilson Loop的关系，我们可以对拓扑绝缘体进行分类。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：孙二

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