自旋液体 in a nutshell（一）

先说Heisenberg model的隶玻色子（slave-boson）方法。

这个方法现在成了一个泛指，甚至有时候压根不会出现玻色子算符，所以后来一些文章上出现了指明slave-XXX （如slave-rotor，slave-fermion）或者索性叫slave-particle方法。

这个方法涉及到一个这样的操作，它把系统的哈密顿量用一堆新的算符（由这些算符描述的粒子叫slave粒子）重写，结果原来的算符就被分解成这堆新算符的乘积或者多项式，然后重新构建一个Fock空间。一般这个新的Fock空间与原来算符的态空间相比会有冗余，然后我们可以通过投影算符来构造态的多对一的映射。

阻挫存在的时候，系统基态简并度极大，这些简并态张成的空间是hilbert空间的一个“角落空间”，低温时，系统不能冻结到一个态上，而是在这个简并态张成的“角落空间”里乱窜，显示出了磁无序性，物质形态是流动的，故此叫自旋液体。用现在的拓扑相理论去看这个物理图像的话，这个“角落空间”也可能分成若干个不能通过局域涨落互相tunnel的部分，这些区分了不同的量子液体相。

令人着迷的是，slave粒子会在退禁闭相下被激发出来，并通过冗余衍生的规范场互相作用着。我们先看看描述这个slave粒子的模型是怎么得出的。

对于反铁磁Heisenberg模型：

$\bm{H_{AH}}=\sum_{<ij>}J\bm{S_{i}}\cdot \bm{S_{j}}， J> 0$

对于上面哈密顿量，我们可以把自旋算符作以下分解（Schwinger-Fermion 方法）：

$S^{a}=f_{\alpha}^{\dagger}\sigma_{\alpha\beta}^{a}f_{\beta}，\alpha,\beta=\uparrow or\downarrow，a=x,y,z$

这其中 $\sigma_{\alpha\beta}^{a}$ 是pauli矩阵a分量的矩阵元， $f_{\alpha}^{\dagger}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow}^{\dagger} \\ f_{\downarrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right)$ 和 $f_{\beta}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} \\ f_{\downarrow} \\ \end{array}\right)$ 是狄拉克旋量，对旋量进行 $SU(2)$ 变换会诱导原来自旋算符 $\bm{S}$ 的 $SO(3)$ 空间转动。旋量里的 $f_{\uparrow}^{(\dagger)},f_{\downarrow}^{(\dagger)}$ 都是费米子算符，给定一个真空 $|0>$ ，那么单格点上的Fock空间基可以由费米子作用于真空得出：

$|0>=vacuum$

$f_{\uparrow}^{(\dagger)}|0>=|\uparrow>， f_{\downarrow}^{(\dagger)}|0>=|\downarrow>$

$f_{\uparrow}^{(\dagger)}f_{\downarrow}^{(\dagger)}|0>=|\uparrow\downarrow>$

与原来单格点自旋第三分量 $S_{z}$ 的态空间有以下对应(对应方式并不唯一)：

$|0>\rightarrow|\downarrow_{z}>$

$|\uparrow\downarrow>\rightarrow|\uparrow_{z}>$

$|\uparrow>|\downarrow>$ : reduncdency.

接着，我们把费米算符写成以下矩阵形式：

$\bm{F}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} & f_{\downarrow}^{\dagger} \\ f_{\downarrow} & f_{\uparrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right)$

它的列向量是 $f_{\beta}, f_{\alpha}^{\dagger}$ ，横向量 $\Psi_{\alpha}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} \\ f_{\downarrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right)$ 我们叫规范二重态，则原来的自旋算符就写成：

$\bm{S}=-\frac{1}{4}tr(\bm{\sigma}\bm{F}\bm{F^{\dagger}})$

这种表示与原来的 $\bm{S}$ 对比有 $SU(2)$ 的冗余空间的，即对 $\bm{F}\rightarrow\bm{F}\bm{U}, \bm{U}\in SU(2)$ （右作用，相当于对规范二重态 $\Psi_{\alpha}$ 进行 $SU(2)$ gauge变换，另外左作用则为自旋rotation变换），原来的自旋的算符 $\bm{S}$ 无动于衷。

我们可以把Heisenberg model写成费米子算符表示的形式：

$\bm{H_{AH}}=\sum_{<ij>}-\frac{1}{2}J(f_{i\alpha}^{\dagger}f_{j\alpha}f_{i\beta}^{\dagger}f_{i\beta}+\frac{1}{2}f_{i\alpha}^{\dagger}f_{i\alpha}f_{j\beta}^{\dagger}f_{j\beta})$

我们对它做一个Hubbard-Stratonovich变换，我们可以得到系统的拉格朗日量：

$L=\sum_{i}{\Psi_{i}^{\dagger}\partial_{\tau}\Psi_{i}}+\sum_{<ij>}{\frac{3}{8}J_{ij}[\frac{1}{2}Tr(U_{ij}^{E\dagger}U_{ij}^{E})-(\Psi_{i}^{\dagger}U_{ij}^{E}\Psi_{j}+h.c.)]}+\sum_{i}{a_{0}^{l}\Psi_{i}^{\dagger}\tau^{l}\Psi_{i}}$

$a_{0}^{l}$ 是拉格朗日乘子，在这里充当自旋子的化学势， $\tau^{l}$ 的1,2,3分量是泡利矩阵，0分量是单位矩阵。其中做了平均场处理：

$-2<f_{i\alpha}f_{j\beta}>^{E}=\Delta_{ij}^{E}\varepsilon_{\alpha\beta}，-2<f_{i\alpha}^{\dagger}f_{j\beta}>^{E}=\chi_{ij}^{E}\delta_{\alpha\beta}$

$\bm{U}_{ij}= \left(\begin{array}{cccc} \chi_{ij}^{E\dagger} & \Delta_{ij}^{E} \\ \Delta_{ij}^{E\dagger} & -\chi_{ij}^{E} \\ \end{array}\right)$

我们可以在局域的规范变换下,

$\Psi_{i}\rightarrow W_{i}\Psi_{i}=\Psi_{i}'$

$W \in SU(2)$

拉格朗日量不变。

到这里，slave费米子的手续业已完成，我们看到简单的Heisenberg（硬核玻色子）模型在Schwinger-Fermion表述下拥有一个 $SU(2)$ 的规范结构和由 $f_{\uparrow}^{(\dagger)},f_{\downarrow}^{(\dagger)}$ 描述的slave费米子。这些费米子会在什么情况下被解禁闭出来，成为可被观测的准粒子呢？这是我们进一步思考的问题。

最后说一说，我们看到这些slave费米子是原来算符的部分子化（partonization）得到的，然而它并不真正是通过对自旋再分的部分，而是集体激发的低能有效描述。因此这里体现一个奇妙的哲学思想：集体激发衍生出个体的部分。日后我会从范畴论谈谈这个事情。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：潇湘

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