能否不引入物理学概念，仅从数学角度介绍一下费曼的路径积分？

这个事情其实很简单，就是要给泛函做积分而已，我们知道物理上的拉式量实际上可以看成泛函：

$S(x)=\int^t_{t_0}L(x,\dot{x},t)dt$

而路径积分就是要求：

$G(x,t;x_0,t_0)=\frac{\int\delta(\xi(t)-x)\delta(\xi(t_0)-x_0)e^{iS(\xi)}D\xi}{\int e^{iS(\xi)}D\xi}$

当然这种物理上的写法，在数学家看来是无理取闹，这里面有三个问题，其中2个好解决，1个现在都还比较头疼。

1.Donsker泛函问题， $\delta(\xi(t)-x)$ 这个东西出现在了积分中，我们知道δ函数根本就是不是通常意义的函数，而是广义函数，虽然广义函数的空间也是可以定义泛函的，但显然Donsker泛函不行，因为泛函是把函数（或者广义函数）映射为数，而Donsker泛函显然不满足这个要求，而你说他是广义泛函吗？是不是又把问题复杂化了？毕竟这又要扯泛函空间的对偶空间。

这个问题最后数学家们也只能将就一下，我个人觉得比较信服的有三个方案：

a.看成阶跃函数的导数，然后把求导提到积分号外面；

b.傅立叶变换；

c.吸收到测度的定义中（我比较喜欢的方案，我之后也这么讲）

2.无穷维空间中无法定义勒贝格测度，因为勒贝格测度满足齐次性，对于线性空间中的可测集A：

$m(kA)=k^dm(A)$ ，其中d是空间的维数，这个d可以推广成任意正实数（也就是所谓分型测度），但就是没法成为无穷，所以 $D\xi$ 其实是个没有意义的写法。

3.菲涅耳积分的勒贝格不可积性，这个真不好解决，所以现在的数学家的路径积分都还只讨论欧氏空间的，不讨论闵氏空间的。具体参考我的回答：

费曼路径积分的数学严格化有哪些困难和进展?

关于泛函测度的定义，我知道的有两套，一套比较具体，知道的人也多，但我觉得不好推广，就是维纳（Wiener）测度；还有一种是高斯测度，或者说是正态分布在无穷维空间的推广，不只适用于量子力学的路径积分，也适用于量子场论的路径积分。

一、维纳测度

首先定义基本积分空间 $C[0,t]$ 是区间 $[0,t]$ 上的所有连续函数，定义对于划分 $T:0=t_0<t_1<t_2<...<t_n=t$ 和 $\mathbb{R}^n$ 中的可测集 $\Omega$ 定义柱集：

$I(T,\Omega)=\{x\in C[0,t]|(x(t_1),...,x(t_{n}))\in\Omega\}$

然后，就可以定义柱集的维纳测度：

$P(x_0,I(T,\Omega))=\int_\Omega \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{i+1}-t_i)}}e^{-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2(t_{i+1}-t_i)}}dx_{i+1}$

于是一般的可测集，就令：

$P(x_0,A)=\inf\{P(x_0,I)|I是柱集,A\subset I\}$

当然我们还需要证明这真的是个测度，维纳证明了这对于 $C[0,t]$ 中的Borel集（也就是拓扑张成的 $\sigma$ 代数）这都是严格可数可加的。

然后卡茨（Kac）又证明了

$D(x,x_0,t)=\int_{\{C[0,t]|x(0)=x_0\}}\delta(\xi(t)-x)e^{-\int V(\xi)d\xi}dP(x_0,\xi)$

是方程 $\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi=0$ 的格林函数（很好证，利用Trotter乘积公式 $e^{T+V}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(e^{\frac{T}{n}}e^{\frac{V}{n}})^n$ 可秒），注意这个方程不是薛定谔方程，是随机行走的方程，或者说是经过Wick转动的薛定谔方程，由于路径积分是费曼提出的，这个公式就被称为费曼-卡茨公式了。

之前说了Donsker泛函是不严格的，我们可以考虑把这个吸收到测度里，定义一个不是概率测度的测度：

$W(x_0,x_n,I(T,\Omega))=\int_\Omega \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{i+1}-t_i)}}e^{-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2(t_{i+1}-t_i)}}\prod_{i=1}^{n-1}dx_i$