3.5 小科普er~量子悖论：负概率问题（negative probability problem）！

第三章后续加个鸡腿小科普er之负概率问题迷思

——Yiming Pan (枫林白印)（原创，转载请注明出处）

在讨论量子弱测量中更加诡异的Interaction-free measurement之前，作为对前几章关于弱值分析的汇总，我想简单地聊一聊无处不在的“负概率(或者复概率)”现象并不是弱测量所独有的。当然，我不认为自己理解负概率问题，但确实在大量的理论和现象中看到它的存在。对于很多读者来说，这个概率为负的问题是”unknown unknown”（未知的未知），而这个文章的目标就在于让读者熟悉它，把它变成一个”known unknown”（已知的未知）! [Ref:There are known knowns.]

各行各业都有一个悟道过程，在自己专业领域专研的人，往往也会形成一种虔诚的价值观或者世界观。画画的觉得什么都是色彩，唱歌的觉得什么都是声音，做菜的万物是水和火的调和，搞经济的眼中什么都是钱的运作，闲得蛋疼的最懂得‘生活的无聊’。。。

而我们搞物理的呢，觉得这个世界是可以用一个方程式刻画的。而统计上，概率的存在可以理解为我们人类还没找到这个终极方程式罢了。

当然，我并不相信以上自己写的这些鬼话！概率可以是更加根本的存在，并不只是一种对终极理论求之不得的妥协。原因可以列出很多条来，但就量子力学来说，最核心的原因其实是波函数的几率解释，即Born’s rule，

$P=|\psi|^2$

这个表达式是Born在1926年研究Schrodinger方程散射问题时，在一个脚注(footnote)中提出来的，也是Born获得1954年诺贝尔奖的工作。但是我相信，大部分接触过量子力学的人对这个公式的理解，并没有足够深刻的认识。

我们知道，物理学发展到今天依然有两套完全矛盾的思维范式并存着，一种是力学决定论的，另一种是统计随机论的。Born对量子力学的几率解释把这两个范式用一个简单的公式等价起来，这才是这个公式的核心意义。对于一个电子来说，它的演化过程用波函数 $\psi$ 来刻画，而测量这个粒子的可能性用概率P来刻画，这原本是属于两种不同的物理范式的，但是Born让它们等价起来而且还意外地符合实验的检验，即 $P=|\psi|^2$ 。当然，随后引起的量子力学争论至今的测量坍缩问题也算这个公式遗留的历史问题了。

现在，我们来定义一个合适的算子来描述波函数处在某一特定状态上的概率，即投影算子。假设波函数可以选择一组基矢进行展开，即

$|\psi\rangle=\sum_{n}c_n|n\rangle$

那么，波函数 $|\psi\rangle$ 处在状态 $|n\rangle$ 上的投影算子为 $\hat{P}=|n\rangle\langle n|$ ，其测量的期望值为

$P=\frac{\langle \psi|\hat{P}|\psi \rangle}{\langle \psi|\psi \rangle}=\frac{\langle \psi|n\rangle\langle n|\psi \rangle}{\langle \psi|\psi \rangle}=|c_n|^2$

即系统处于状态 $|n\rangle$ 上的概率大小。注意，这儿我们用投影算子的力学期望值来定义概率，也就是说，实际上是把Born’s rule倒过来理解的。从这个角度，投影算子的弱值也就是概率的推广，即在弱测量中通过预选择( $|\psi\rangle$ )和后选择( $|\phi\rangle$ )，投影算子的弱值为

$P_w=\frac{\langle \phi|\hat{P}|\psi \rangle}{\langle \phi|\psi \rangle}=\frac{\langle \psi|n\rangle\langle n|\psi \rangle}{\langle \psi|\psi \rangle}=\frac{c_n^{'*}c_n}{\sum_n c_n^{'*}c_n}$

这儿，后选择可展开为

$|\phi\rangle=\sum_{n}c_n'|n\rangle$

我们注意到投影算子的期望值 $P\in[0,1]$ ，但是弱值 $P_w\in C$ 的取值范围是在整个复数域上。借助于投影算子 $\hat{P}$ ，我们定义一个所谓的广义概率(extended probability)，即

$P\Rightarrow P_w$

当后选择和预选择中 $c_n^{'}\ne c_n$ ，弱值 $P_w$ 可大于1，可为负，也可为复数。以上的表述，用弱测量的语言自然地引入了负概率问题。

另一个从数学上引入负概率的方法是Wigner function，是Eugene Wigner在1932年为了研究量子关联和经典统计力学(相空间)之间关系时引入的，这个函数又被称为Wigner准概率分布函数。[Ref:Wigner quasiprobability distribution] 这个Wigner函数，也是从波函数开始定义的，即

$W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int \psi^*(x+q)\psi(x-q)e^{2ipq/\hbar}dq$

这个函数定义在(x,p)构成的相空间，并且有很多良好的性质，比如 $W(x,p)\in\Re$ 为实数，而且取值范围为 $-\frac{2}{h}\leq W(x,p)\leq \frac{2}{h}$ 同时 $\int dxdp W(x,p)=1$ 可归一化。需要特别指出的是当准概率分布函数为负时，即

$W(x,p)<0$

这就是负概率问题！Wigner function有太多让人喜欢的性质，非常值得深入研究，就不具体展开了。不过对于Wigner function来说，我们可以确定一点就是在相空间出现的准概率为负是一种纯的量子效应，非经典的。另外，Feynman也有一个利用自旋1/2粒子构造出来的负概率的例子，类似于Wigner function，参看文献: Feynman, Richard P. (1987). “Negative Probability”.

负概率问题，还出现在Klein-Gordon方程中，也出现在Dirac方程中。Paul Dirac是把负概率和负能量问题真正对待的第一人，他因此预言了反物质的存在并被实验证实。相应地，负概率也常常被当作“反事件”的正概率来理解，虽然人们并不知道何为“反事件”。

“Negative energies and probabilities should not be considered as nonsense. They are well-defined concepts mathematically, like a negative of money.”- Paul Dirac, The Physical Interpretation of Quantum Mechanics, 1942.

另一种理解负概率问题的方案，跟贝叶斯估计有关[Ref: Quantum Bayesianism]，即条件概率，代表人物就是E.T.Jaynes以及他的遗世之作[Probability Theory The Logic of Science]。需要指出的，我对这个方案的理解认识很粗浅，因此只给出参考文献，有兴趣的读者需要自己去调研: Mückenheim, Wolfgang, G. Ludwig, C. Dewdney, P. R. Holland, A. Kyprianidis, J. P. Vigier, N. Cufaro Petroni, M. S. Bartlett, and E. T. Jaynes. “A review of extended probabilities.” Physics Reports 133, no. 6 (1986): 337-401.

关于负概率问题，我一共提及了四种方案：弱测量中投影算子的弱值；相空间中的Wigner函数；相对论方程中的反物质和’反事件’；量子贝叶斯估计。这四种方案之间并不是各自独立的，恰恰相反，它们有着非常广泛的内在联系，但我并不想明确地指出来。因为这些联系更多的是我个人的一些浅薄想法，还是留着写论文吧。

我早些年读书接触场论QED等，对负概率的理解是从Dirac和Klein-Gordon方程来的；后来学会Wigner function知道了准概率分布函数中的负值部分是一种纯量子效应带来的，并开始从相空间来思考；到接触弱测量之后，发现负概率（或者虚数概率）是一种普遍的存在，而且跟post-selection有非常大的关系，更增加了一个思考角度。最后从贝叶斯的条件概率去思考负概率问题，也源于弱测量的后选择过程似乎跟Bayes条件估计过程非常类似，有可能把弱值理论更加数学化。

希望坚持读到最后的读者，能够意识到负概率问题，是一个“known unknown”，我的这个文章的目标就达到了。若是能有兴趣从我提供的四个方案中任何一个角度去自己深入，于我则更是一种欣慰啦。作为收尾：Maybe (or maybe not) the Bayesian estimation is the classical counterpart of weak measurement…

(第一稿 13-April-2018)

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Yiming Pan

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